マイケルソン干渉計で長さを測る

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 この装置の要は「往復」である。鏡を $x$ 動かすと、光はその区間を往復するので $2x$ だけ余分に進む。

縞が $1$ 本ぶん移動するのは、光路差が $\lambda$ 変わったときである。だから鏡の移動距離と縞の本数を数えるだけで、波長という極めて小さい量が測れる。

逆に、波長が分かっていれば、$\frac{\lambda }{2}$ という精度で長さを測る道具になる。

① 光路差の変化。 光は鏡まで行って戻るので、鏡が $x$ 動けば経路は $2x$ 変わる。

$$(\text{光路差の変化})=2x$$

② 波長。 縞 $N$ 本ぶんの移動は、光路差が $N\lambda$ 変わったことを意味する。

$$2x=N\lambda ⟹\lambda =\frac{2x}{N}=\frac{2\times 1.0\times 10^{-4}}{400}=5.0\times 10^{-7}\mathrm{m}$$

③ 測れる長さの目安。 縞 $1$ 本ぶんの移動は $N=1$ の場合だから

$$x=\frac{\lambda }{2}=2.5\times 10^{-7}\mathrm{m}$$

つまり縞を $1$ 本数えられれば、$0.25\mu \mathrm{m}$ の移動が分かる。縞の位置を $\frac{1}{10}$ まで読み取れば $2.5\times 10^{-8}\mathrm{m}$、原子数個ぶんの長さである。

ものさしでは到底届かない精度が、「数を数える」だけで得られる。

④ ガラス板を入れる。 厚さ $t$ の部分では、光は真空中と比べて $nt$ の光路長を進むことになる。もともとそこは空気(光路長 $t$)だったから、増える分は $(n-1)t$ である。

光は往復するので $2$ 倍になる。

$$(\text{光路差の変化})=2(n-1)t=2\times 0.5\times 1.0\times 10^{-5}=1.0\times 10^{-5}\mathrm{m}$$

$$N=\frac{1.0\times 10^{-5}}{5.0\times 10^{-7}}=20\text{本}$$

まとめ 「往復で $2$ 倍」と「縞 $1$ 本は光路差 $\lambda$」の $2$ つだけで、この装置の問題はすべて解ける。鏡を動かしても、ガラス板を入れても、考え方は同じである。

発展 — 一歩先へ。 マイケルソンとモーリーは、この干渉計で地球の運動による光速の変化を探した($1887$ 年)。もし光がエーテルという媒質を伝わるなら、地球の進む向きと垂直な向きとで光速が違い、装置を $90^{\circ }$ 回すと縞が動くはずだった。

しかし縞は動かなかった。この「何も起こらなかった実験」が、光速はどの向きでも同じという結論につながり、相対性理論への道を開いた。

$2015$ 年に重力波を検出した LIGO も、原理は同じマイケルソン干渉計である。腕の長さ $4\mathrm{km}$ で、原子核の大きさより小さい変化を捉えている。

別解

光路長という $1$ 本の物差しでそろえるルート。 ① と ④ は、別々の話に見えて同じ式で処理できる。

干渉を決めるのは、幾何的な距離ではなく光路長(距離 × 屈折率)である。$2$ つの腕の光路長の差だけが問題になる。

鏡を $x$ 動かす操作は、その腕の光路長を $2x$ 増やす(空気の屈折率は $1$)。

ガラス板を入れる操作は、厚さ $t$ の区間の屈折率を $1$ から $n$ に変えることなので、光路長を $(n-1)t$ 増やす。往復で $2(n-1)t$。

どちらも「光路長がいくら変わったか」を $\lambda$ で割れば縞の本数になる。

$$N=\frac{\Delta (\text{光路長})}{\lambda }$$

この $1$ 本の式にまとめておくと、「屈折率が未知の気体を封入したセルを入れて、縞の本数から屈折率を測る」といった応用問題にもそのまま対応できる。実際、気体の屈折率($1.0003$ 程度)はこの方法で精密に測られている。