全反射と臨界角

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 全反射の入口は「屈折角 90°」という極限の状況をスネルの法則に代入することである。速い媒質(空気)へ出る光は法線から離れる——入射角を増やすと、屈折角が先に 90° に達してしまう。

① 臨界角。 $n\sin {\theta }_c=1\times \sin 90°=1$ より

$$\sin {\theta }_c=\frac{1}{n}=\frac{1}{\sqrt{2}}⟹{\theta }_c=45°$$

② 臨界角を超えると。 スネルの法則を満たす屈折角が存在しなくなり($\sin {\theta }_2>1$ は不可能)、光は全部反射される——全反射である。境界が完全な鏡になる。

まとめ 全反射が起こるのは「屈折率の大きい側から小さい側へ」出るときだけ(逆向きでは屈折角が入射角より小さく、90° に達しようがない)。ダイヤモンドの輝き($n=2.4$、臨界角約 24° で光が閉じ込められる)、光ファイバー(標準)——「境界が鏡になる」現象は光技術の土台である。

別解

sinθ₂ のグラフで見るルート。 $\sin {\theta }_2=n\sin {\theta }_1$ は入射角とともに増える。$n>1$ だから、$\sin {\theta }_1$ が $\frac{1}{n}$ に達した瞬間に右辺が 1(=90°)に到達し、それ以上は「$\sin$ が 1 を超える」という不可能な要求になる。

「解が存在しない=屈折光が消える」——数式の解の消滅が、物理では全反射という劇的な現象になって現れる。方程式の可解条件を物理現象として読む、よい練習である。