見かけの深さの式の導出

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 基礎で使った $h^{\prime }=\frac{h}{n}$ の証明である。道具は 3 つ——2 つの直角三角形の $\tan$、スネルの法則、小角近似。共通の水平距離 $x$ が両者をつなぐ蝶番になる。

① 2 つの三角形。 P の真上から $x$ ずれた水面の点で屈折するとする。

• 実際の光(水中、深さ $h$): $\tan {\theta }_1=\frac{x}{h}$
• 目が見る延長線(見かけの深さ $h^{\prime }$): $\tan {\theta }_2=\frac{x}{h^{\prime }}$

② スネルの法則+小角近似。 $n\sin {\theta }_1=1\times \sin {\theta }_2$、小角で $\sin \approx \tan$ だから

$$n\tan {\theta }_1\approx \tan {\theta }_2⟹n\cdot \frac{x}{h}=\frac{x}{h^{\prime }}$$

③ 整理する。 $x$ が消えて

$$h^{\prime }=\frac{h}{n}$$

まとめ $x$ が約分で消える——どの(小さい)角度で見ても同じ深さに見えるからこそ、「見かけの深さ」という 1 つの値が意味を持つ。斜めから見る(大角)と近似が崩れ、もっと浅く見える——「真上から」という条件の役割まで、導出をたどると明確になる。単振り子の $\sin \theta \approx \theta$ と同じく、近似が「きれいな法則」を切り出している好例である。

別解

数値で近似の精度を確かめるルート。 $n=\frac{4}{3}$、$h=1.2\mathrm{m}$、水中の角 ${\theta }_1=5°$ で厳密に計算すると、見かけの深さは $0.899\mathrm{m}$——公式の $0.90\mathrm{m}$ と 0.1 % しか違わない。${\theta }_1=30°$ では $0.83\mathrm{m}$ 程度まで浅くなり、近似から明確にずれる。

「近似式の守備範囲」を数値で体感しておくと、公式を使ってよい場面の判断が身につく。