物理 / 光

ニュートンリングの式の導出

★★★ 応用ニュートンリング導出近似

問題

曲率半径 $R$ の平凸レンズを平面ガラスに置いたとき、接点から距離 $r$ の位置の空気層の厚さ $d$ について、(1) 三平方の定理から $r^{2} = 2 R d - d^{2}$ が成り立つことを示せ。 (2) $d ≪ R$ を用いて $d \approx \frac{r ^{2}}{2 R}$ と近似できることを示し、暗環の半径が $r_{m} = mλ R$ となることを導け。

球面の中心 C を頂点とする直角三角形に三平方を使う

ヒントを見る

レンズの球面の中心から、厚さ d の場所までの直角三角形を描く——斜辺は R、縦は R−d、横は r。展開して出てくる 2 つの項の大きさを、実際の数値(d は μm、R は m)で比べてみよう。

解答・解説

方針

球面の中心・接点・観測点の直角三角形で三平方。d²≪2Rd の比較で近似の正当性を数値でも確認。2d=mλ と合流。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 標準問題で天下りに使った $d = \frac{r ^{2}}{2 R}$ を、三平方と「小さい量の 2 乗は捨てる」近似で自力で作る。近似は「使ってよい理由」まで言えて初めて道具になる。

① 三平方の定理。 レンズ球面の中心 C から見ると、接点方向に $R$ 、観測点の真上の球面までが斜辺 $R$ 、縦 $R - d$ 、横 $r$ の直角三角形ができる:

$R^{2} = (R - d)^{2} + r^{2} ⟹ r^{2} = R^{2} - (R - d)^{2} = 2 R d - d^{2}$

② 近似と暗環の式。 $d$ は $μ m$ 級、 $R$ は m 級だから $\frac{d ^{2}}{2 R d} = \frac{d}{2 R} \sim 1 0^{- 7}$ —— $d^{2}$ の項は 1000 万分の 1 の補正にすぎない。捨てて

$r^{2} \approx 2 R d ⟹ d = \frac{r ^{2}}{2 R}$

暗環条件 $2 d = mλ$ に代入:

$\frac{r ^{2}}{R} = mλ ⟹ r_{m} = mλ R$

まとめ この導出の型——三平方→微小量の 2 乗を捨てる——は物理の随所に現れる(単振り子の円弧、球面鏡の近軸近似、遠方の星の視差)。「近似の誤差がどのくらい小さいか」を数値で見積もる習慣( $\frac{d}{2 R} \sim 1 0^{- 7}$ )が、近似を「ずる」でなく「制御された道具」に変える。

答

(1) 球の中心から: $R^{2} = (R - d)^{2} + r^{2}$ を展開 (2) $d^{2}$ を $2 R d$ に比べて無視。暗環条件 $2 d = mλ$ に代入して $r_{m} = mλ R$

別解

逆に r から d を実感するルート。 $r = 3.0 mm$ 、 $R = 5.0 m$ なら $d = \frac{( 3.0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{2 \times 5.0} = 9.0 \times 1 0^{- 7} m$ ——空気層は約 1 $μ$ m、髪の毛の 1/100 である。mm の環を測って μm の厚さを知る——ここでも干渉のてこ(1000 倍の拡大)が働いている。

捨てた $d^{2}$ 項の大きさは $8 \times 1 0^{- 13} m^{2}$ 対 $2 R d = 9 \times 1 0^{- 6} m^{2}$ ——確かに 7 桁小さい ✓。

ポイント

三平方 R²=(R−d)²+r²
d²/2Rd〜10⁻⁷ だから捨てる
2d=mλ と合流して r=√(mλR)

よくある間違い

直角三角形の辺の取り方を誤る
d を残したまま 2 次方程式を解こうとする
近似の正当化を書かない