物理 / 光

レンズを動かして焦点距離を測る

最難関編レンズ写像公式対称性

問題

物体とスクリーンを $L = 0.90 m$ 離して固定し、そのあいだで凸レンズを前後に動かす。すると、レンズの $2$ つの位置ではっきりした像が結ばれた。

レンズの焦点距離を $f$ 、物体からレンズまでの距離を $a$ 、レンズからスクリーンまでの距離を $b$ とする( $a + b = L$ )。

物体とスクリーンの距離を固定し、そのあいだでレンズを動かす。

(1) $a$ が満たす $2$ 次方程式を作り、 $f = 0.20 m$ のときの $2$ つの位置を求めよ。

(2) $2$ つの位置の間隔 $e$ を求めよ。また $f$ を $L$ と $e$ で表せ。

(3) $2$ つの位置での像の倍率をそれぞれ求め、その積がいくらになるかを述べよ。

(4) 像が結ばれるためには $L$ と $f$ にどんな関係が必要か。

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$a$ と $b$ は独立ではない。写像公式と合わせると $a$ について何次の方程式になるか。 $2$ つの解にはどんな関係があるか。

解答・解説

方針

写像公式と $a + b = L$ を連立すると $a$ の $2$ 次方程式になる。 $2$ 解が $2$ つのレンズ位置にあたる。解と係数の関係を使えば、間隔 $e$ から $f$ を求める式が出る。この $2$ 位置が物体側と像側を入れかえた関係にあることが、倍率の積に現れる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「 $2$ か所で像ができる」と言われたら、方程式の解が $2$ つあると読みかえる。

未知数は $a$ と $b$ の $2$ つだが、 $a + b = L$ で結ばれているので実質 $1$ つである。写像公式に代入すれば $a$ の $2$ 次方程式になり、 $2$ 解が $2$ つの位置に対応する。

そして $2$ 次方程式なら、解と係数の関係が使える。 $2$ 解の和と差が分かれば、 $f$ を測定量だけで書ける。これがこの測定法の要点である。

① $2$ 次方程式と $2$ つの位置。 写像公式に $b = L - a$ を代入する。

公式レンズの写像公式

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

$\frac{1}{a} + \frac{1}{L - a} = \frac{1}{f}$

両辺に $a f (L - a)$ を掛けて整理する。

$f (L - a) + f a = a (L - a) ⟹ a^{2} - L a + f L = 0$

$f = 0.20$ 、 $L = 0.90$ を入れる。

$a^{2} - 0.90 a + 0.18 = 0$

$a = \frac{0.90 \pm 0.81 - 0.72}{2} = \frac{0.90 \pm 0.30}{2}$

$a = 0.30 m, 0.60 m$

$2$ つの位置は、物体から $0.30 m$ と $0.60 m$ である。一方の $a$ が他方の $b$ になっている(物体側と像側の入れかえ)。

② 間隔から $f$ を出す。 $2$ 解の差が間隔 $e$ である。解と係数の関係から

$e = L^{2} - 4 f L$

$e = 0.81 - 0.72 = 0.30 m$

これを $f$ について解く。

$e^{2} = L^{2} - 4 f L ⟹ f = \frac{L ^{2} - e ^{2}}{4 L}$

$f = \frac{0.81 - 0.09}{4 \times 0.90} = \frac{0.72}{3.6} = 0.20 m$

測るのは $L$ と $e$ という $2$ つの長さだけである。レンズの中心がどこにあるか(厚みの中心)を知らなくてもよいのが、この方法の強みである。

2 つの位置は L の中点について対称になる。倍率は 2 倍と 1/2 倍で、積は 1。

③ 倍率。 倍率は $\frac{b}{a}$ で与えられる。

$m_{1} = \frac{0.60}{0.30} = 2.0, m_{2} = \frac{0.30}{0.60} = 0.50$

積は

$m_{1} m_{2} = 1$

$2$ つの位置は $a$ と $b$ が入れかわった関係なので、倍率はたがいに逆数になる。一方が拡大なら、他方は同じ比率の縮小である。

④ 像ができる条件。 $2$ 次方程式が実数解をもつ必要がある。

$L^{2} - 4 f L \geq 0 ⟹ L \geq 4 f$

物体とスクリーンが近すぎると、どこにレンズを置いても像は結ばない。 $L = 4 f$ がぎりぎりで、そのとき $2$ つの位置は重なり( $e = 0$ )、 $a = b = 2 f$ の等倍になる。

まとめ 写像公式と $a + b = L$ の連立が $2$ 次方程式になり、その判別式が「像ができる条件」、 $2$ 解の差が「焦点距離の測定式」を与える。物理の設定が、そのまま $2$ 次方程式の性質に翻訳される。

発展 — 一歩先へ。 ② の方法はベッセル法とよばれ、実際にレンズの焦点距離を精密に測るのに使われている。

なぜこの方法が優れているかというと、厚いレンズでは「レンズの中心」がどこなのかがはっきりしないからである。 $a$ や $b$ を直接測ろうとすると、その曖昧さが誤差になる。

ベッセル法で測るのは、レンズを動かした距離 $e$ と、物体からスクリーンまでの距離 $L$ だけである。どちらもレンズの中心とは無関係に測れる。「測りにくい量を、測りやすい量の組み合わせに逃がす」という測定の定石になっている。

答

$a^{2} - L a + f L = 0$ で $a = 0.30, 0.60 m$ 、 $e = 0.30 m$ で $f = \frac{L ^{2} - e ^{2}}{4 L}$ 、倍率は $2$ 倍と $\frac{1}{2}$ 倍で積は $1$ 、 $L \geq 4 f$

別解

光の逆進性から $2$ 位置の存在を先に見抜くルート。 方程式を解く前に、 $2$ つ目の位置があることは分かる。

光の進む道すじは、向きを逆にしてもそのまま成り立つ(光の逆進性)。だから、物体からレンズまで $a$ 、レンズからスクリーンまで $b$ で像ができるなら、レンズを動かして物体からの距離を $b$ 、スクリーンまでを $a$ にしても像ができる。

$a + b = L$ は変わらないので、この $2$ つ目の配置も同じ $L$ の中に収まる。つまり $2$ 位置は必ず対になって現れる。

このとき $2$ つの位置は、 $L$ の中点について対称である。中点からそれぞれ $\frac{e}{2}$ の位置にあるので

$a = \frac{L - e}{2}, b = \frac{L + e}{2}$

これを写像公式に入れると

$\frac{1}{f} = \frac{2}{L - e} + \frac{2}{L + e} = \frac{4 L}{L ^{2} - e ^{2}}$

となり、② の式が直接出る。 $2$ 次方程式を解かずに済む。

対称性を先に見抜くと、計算が短くなるだけでなく「なぜ $2$ 位置なのか」という理由まで同時に分かる。

ポイント

写像公式と a+b=L の連立は a の 2 次方程式になる
2 解は物体側と像側を入れかえた関係(倍率はたがいに逆数、積は 1)
f=(L²−e²)/(4L)。測るのは L と e だけでよい(ベッセル法)
像ができる条件は L≥4f(判別式)

よくある間違い

2 つの位置が別々の像の種類(実像と虚像)だと考える(どちらも実像)
倍率を a/b としてしまう(スクリーン側 ÷ 物体側)
L<4f でも近づければ像ができると思う(どこに置いても結ばない)