厚いガラス板を通すと像がずれる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ガラス板を通しても物がゆがまずに見えるのは、出てくる光が入射光と平行だからである。しかし位置は少しずれる。

平行になることは、屈折の法則を $2$ 回使えばすぐ分かる。問題はずれの量で、これは幾何の問題になる。

ガラス中の光路(斜めの線分)を $2$ 方向に分解して考えると、直角三角形が見えてくる。

① 屈折角。

$$\sin r=\frac{\sin i}{n}=\frac{0.866}{1.5}=0.577⟹r=35.3^{\circ }$$

② 平行であること。 上面での屈折は $\sin i=n\sin r$、下面ではガラスから空気へ出るので、出射角を $i^{\prime }$ として

$$n\sin r=\sin i^{\prime }$$

$2$ 式を見比べると $\sin i^{\prime }=\sin i$、つまり $i^{\prime }=i$ である。

上面と下面が平行だからこそ、下面での入射角がちょうど $r$ になり、角がもとにもどる。出ていく光線は入射光線と平行になる。

③ 横ずれ。 ガラス中の光路の長さは

$$\mathrm{PQ}=\frac{t}{\cos r}$$

横ずれ $s$ は、この線分を入射光線の向きに垂直な方向へ測った長さである。線分 PQ と入射方向のなす角は $i-r$ だから

$$s=\mathrm{PQ}\sin (i-r)=\frac{t\sin (i-r)}{\cos r}$$

数値を入れる。$i-r=60^{\circ }-35.3^{\circ }=24.7^{\circ }$ だから

$$s=\frac{3.0\times 10^{-2}\times 0.418}{0.816}\approx 1.5\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

$1.5\mathrm{cm}$ ものずれである。

④ 小さい角での近似。 $i$ が小さいとき、$r$ も小さい。$\sin \theta \approx \theta$、$\cos \theta \approx 1$ と置きかえる。

まず屈折の法則から

$$i\approx nr⟹r\approx \frac{i}{n}$$

これを ③ の式に入れる。

$$s\approx \frac{t(i-r)}{1}=t\left(i-\frac{i}{n}\right)=ti\left(1-\frac{1}{n}\right)$$

$n=1.5$ なら $1-\frac{1}{n}=\frac{1}{3}$ なので、$s\approx \frac{ti}{3}$ である。ずれは入射角にほぼ比例して増える。

まとめ 平行平面板は「向きを変えずに位置だけずらす」はたらきをする。ずれは板の厚さに比例し、入射角が大きいほど大きい。

発展 — 一歩先へ。 このずれは、光学機器では困ることも役に立つこともある。

困る例は、カメラのセンサーの前に置くフィルターである。厚みがあると像の位置がずれ、ピントの位置も変わる。

役に立つ例は、干渉計や測長器で光路長を微調整する用途である。ガラス板を傾ける角度を変えるだけで、光路長を連続的に変えられる。

また、③ の式で $i$ を大きくしていくと、$s$ は $t\sin i$ に近づく。厚い水槽の水を斜めから見ると、中の物が大きくずれて見えるのはこのためである。

別解

成分に分けて数えるルート。 ③ の式は、$2$ 方向の成分を比べても出せる。

もしガラスがなければ、光は入射方向にまっすぐ進み、板の厚さ $t$ を通り抜けるあいだに横方向へ $t\tan i$ だけ進む。

実際にはガラス中で $r$ の角で進むので、横方向へは $t\tan r$ しか進まない。

つまり出口の位置は、ガラスがない場合に比べて

$$t\left(\tan i-\tan r\right)$$

だけ手前(入射側)にずれている。これは板の面に沿ってはかったずれである。

求める $s$ は入射光線に垂直にはかった距離なので、$\cos i$ を掛ける。

$$s=t\left(\tan i-\tan r\right)\cos i$$

数値を入れると $3.0\times 10^{-2}\times (1.732-0.707)\times 0.500=1.54\times 10^{-2}\mathrm{m}$ となり、③ と一致する。

$\tan$ で測るか $\sin$ で測るかの違いだけで、どちらも同じ幾何を別の切り口から見ている。$2$ 通りで計算して一致を確かめると、角の取り違えを防げる。