物理 / 光

凸レンズの実像

★ 基礎レンズ写像公式

問題

焦点距離 $10 cm$ の凸レンズの前方 $15 cm$ に物体を置いた。(1) 像の位置 (2) 倍率 (3) 像の種類(実像か虚像か、正立か倒立か)を答えよ。

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写像公式に a=15、f=10 を入れて b を求める。b の符号が正ならレンズの後ろに実像。倍率は b/a——結果が 1 より大きいか小さいかで拡大・縮小も分かる。

解答・解説

写像公式 1/a+1/b=1/f。b=30>0 で後方に実像。倍率 b/a=2。焦点の外の物体→倒立実像。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 レンズの計算は写像公式 1 本+倍率で機械的に処理できる。符号の約束(実像側の $b$ を正)だけ最初に固定する。

公式写像公式:

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

、倍率

m = \frac{b}{a}

(

b > 0

: 後方の実像、

b < 0

: 前方の虚像)

① 像の位置。

$\frac{1}{15} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10} ⟹ \frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3 - 2}{30} = \frac{1}{30}$

$b = 30 cm (レンズの後方)$

② 倍率。

$m = \frac{b}{a} = \frac{30}{15} = 2 倍$

③ 種類。 $b > 0$ だから実像。凸レンズの実像は必ず倒立である。

平行光線と中心光線の交点に、倒立 2 倍の実像ができる

まとめ 「焦点の外に置くと倒立実像」——プロジェクターやカメラはこの配置である。 $a = 15 cm$ は $f$ と $2 f$ の間なので拡大( $m = 2$ )—— $2 f$ より外なら縮小、と位置と像の対応表が頭に入っていると、計算前に答えの見当がつく。

答

(1) $\frac{1}{15} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}$ より $b = 30 cm$ (レンズの後方) (2) $m = \frac{b}{a} = 2$ 倍 (3) 倒立の実像

作図で確かめるルート。 2 本の光線で像が描ける——(1) 光軸に平行に入り、後方の焦点を通って出る光線。(2) レンズの中心を直進する光線。2 本の交点が像の位置である。

$a = 15, f = 10$ で作図すると、交点は後方 30 cm・高さは物体の 2 倍(下向き)——計算と一致する。公式で数値、作図で構図の 2 本立てが、レンズ問題の最強の検算体制である。