物理 / 光

レンズの作図(3 本の光線)

★ 基礎レンズ作図

問題

焦点距離 $10 cm$ の凸レンズの前方 $20 cm$ に物体を置いた。作図に使える 3 本の基本光線(平行光線・中心光線・焦点光線)を説明し、この配置の像を作図で求めよ。写像公式でも確かめよ。

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3 本の光線はどれも「行き先が確実に分かる」特別な光線である。2 本で像は決まるが、3 本目は検算になる。a=2f のときの像の位置には、覚えておく価値のある対称性がある。

解答・解説

a=2f の対称配置。1/b=1/10−1/20=1/20 → b=20、m=1。3 本の光線は 1 点で交わる。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 作図の道具は行き先が確実な 3 本の光線である。物体の先端から出るこの 3 本を描けば、交点が像の先端になる。

① 3 本の基本光線。

② この配置の像。 $a = 20 cm = 2 f$ の対称配置。3 本は後方 $20 cm$ 、光軸の下側の 1 点で交わる——等倍の倒立実像。

3 本の光線(平行・中心・焦点)が 1 点で交わる。2f→2f の等倍

③ 公式で確認。

$\frac{1}{b} = \frac{1}{10} - \frac{1}{20} = \frac{1}{20} ⟹ b = 20 cm, m = \frac{20}{20} = 1 ✓$

まとめ 「 $2 f$ に置けば $2 f$ に等倍」——レンズ配置の対称の中心である。ここから物体を遠ざければ像は焦点へ寄って縮み、近づければ像は遠ざかって拡大—— $2 f$ を基準点にすると、レンズのすべての配置が 1 本の物語として整理できる。

答

3 本: 光軸に平行→後方焦点へ/中心→直進/前方焦点を通る→光軸に平行に出る。交点は後方 $20 cm$ 、等倍の倒立実像( $b = 20$ 、 $m = 1$ )

なぜ 3 本で足りるかを考えるルート。 実は物体の先端から出たすべての光線が(レンズを通るかぎり)同じ像点に集まる——それが「像を結ぶ」ということの意味である。3 本の基本光線は、その中で「作図しやすい代表」にすぎない。

だからレンズの上半分を紙で覆っても像は欠けない(残り半分を通る光が同じ点に集まる)——暗くなるだけである。この理解は、標準の「レンズを半分覆う」問題の伏線になる。