くさび形空気層に液体を満たす

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変更点は 2 つの可能性がある——(1) すき間の中の波長、(2) 境界の反転の数。両方を点検してから結論を出す(片方だけ見るのがこの問題の罠である)。

① 波長の変化と間隔。 水中の波長は $\frac{\lambda }{n}$。暗線の条件は $2d=m\frac{\lambda }{n}$ となり、隣の縞までの厚さの刻みが $\frac{\lambda }{2n}$ に縮む。間隔も同じ倍率で

$$\Delta x^{\prime }=\frac{\Delta x}{n}=\frac{1.0}{4/3}=0.75\mathrm{mm}$$

② 反転の数の点検。 屈折率の並びは ガラス($1.5$)→水($\frac{4}{3}\approx 1.33$)→ガラス($1.5$)。

• 上面: $1.5\to 1.33$ は大→小で反転なし
• 下面: $1.33\to 1.5$ は小→大で反転あり

空気のときと同じ反転 1 回——明暗の条件式の形は変わらない(接触線は暗いまま)。

まとめ 「水を入れると縞が縮む($\frac{3}{4}$ 倍)、明暗の割り当ては不変」。もし膜の屈折率がガラスより大きい液体なら反転の数が 2 回に変わり、明暗が反転する——「間隔は膜内波長、明暗は反転の数」と、2 つの効果を別々の引き出しで管理するのがこの型の完成形である。

別解

「本数で数える」ルート。 同じくさび(端の厚さ $D$)に入る暗線の本数は $m_{max}=\frac{2D}{\lambda /n}=\frac{2nD}{\lambda }$——水を入れると本数が $n$ 倍に増える。同じ長さ $L$ により多くの縞が詰まるのだから、間隔は $\frac{1}{n}$ 倍——間隔の縮みと本数の増加は同じ事実の 2 つの見え方である。

実験では「縞が何本増えたか」を数える方が測りやすい——計測の現場感覚も添えて覚えておきたい。