物体を動かすと像はどう動くか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 1 点の計算でなく「動かしたらどうなるか」を問う問題は、2 つの配置を計算して並べて読む。さらに極限($a\to \infty$)を添えると一般法則が見える。

① 2 つの配置。

• $a=15$: $\frac{1}{b}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{1}{30}$ → $b=30\mathrm{cm}$、$m=2$ 倍
• $a=30$: $\frac{1}{b}=\frac{1}{10}-\frac{1}{30}=\frac{1}{15}$ → $b=15\mathrm{cm}$、$m=0.5$ 倍

② 読み取る。 物体を遠ざける($15\to 30$)と、像は $30\to 15\mathrm{cm}$ とレンズへ近づき、$2\to 0.5$ 倍と縮む。$a\to \infty$ の極限では $b\to f=10\mathrm{cm}$——無限遠の物体の像は焦点面にできる。

まとめ カメラのピント合わせはこの逆再生である——遠くを写すときはレンズをフィルム(センサー)に近づけ、近くを写すときは繰り出す。また $a=15,b=30$ と $a=30,b=15$ が入れ替わりの対になっているのは、写像公式が $a,b$ について対称だから(光の可逆性)。1 つ計算すればもう 1 つはただで手に入る。

別解

1/b のグラフで全体を見るルート。 $\frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$ は、$a$ が増えると $\frac{1}{a}$ が減り $\frac{1}{b}$ が増える——つまり $b$ は単調に減って $f$ に近づく。1 本の式の増減を読むだけで、「遠ざけると像は焦点へ寄る」が数値抜きで出る。

$a\to f$ の逆の極限では $b\to \infty$(焦点上の物体の光は平行光になる)——サーチライトや灯台のレンズはこの配置を使っている。