回折格子の明線の本数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 干渉の「本数」問題はいつも不等式である。水面波では経路差の上限が $d$ だったが、回折格子では $\sin \theta \le 1$ が上限を与える。

① 最大の次数。 $d\sin \theta =m\lambda$ より

$$\sin \theta =\frac{m\lambda }{d}\le 1⟹m\le \frac{d}{\lambda }=\frac{2.0\times 10^{-6}}{6.0\times 10^{-7}}=3.3\cdots$$

整数だから 3 次まで。

② 本数。 中央($m=0$)と左右対称に $\pm 1,\pm 2,\pm 3$:

$$2\times 3+1=7本$$

まとめ $\frac{d}{\lambda }$ という比が本数を決める——格子が細かい($d$ 小)ほど、明線は大きく広がり本数は減る。水面波の干渉の「$\frac{d}{\lambda }$ が模様を決める」と同じ支配比であり、「上限の不等式に整数を数え込む」という解法の型も共通である。

別解

sinθ の値を全部書き出すルート。 $\sin \theta =0.30m$ だから $m=1:0.30,m=2:0.60,m=3:0.90,m=4:1.20$——4 次は $\sin \theta >1$ で不可能。表にすると「どこで止まるか」がひと目で見え、$m=3$ の明線が $\sin \theta =0.90$(かなり横の方向)に出ることまで分かる。

不等式で機械的に解くのと、値を並べて実感するの——両方できると、限界ぎりぎりの問題(ちょうど 90° のときは数えるか等)にも動じない。