虫めがねで太陽の像をつくる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「平行光線は焦点に集まる」と覚えていると、像は点になりそうに思える。しかし実際に紙に映る太陽の像には大きさがある。

理由は、太陽が点ではないからである。太陽の中心から来る光と端から来る光は、$\frac{\theta }{2}$ だけ傾いた別々の平行光線の束である。

傾いた平行光線は、焦点面の中心からずれた点に集まる。このずれが像の大きさになる。

① 像の直径。 光軸に対して角 $\phi$ 傾いた平行光線は、焦点面上で光軸から $f\tan \phi \approx f\phi$ ずれた点に集まる。

太陽の端から来る光は $\frac{\theta }{2}$ ずつ両側に傾いているので、像の直径は

$$d=f\theta =0.10\times 9.3\times 10^{-3}=9.3\times 10^{-4}\mathrm{m}$$

約 $0.93\mathrm{mm}$ である。

② レンズの直径との関係。 ① の式に $D$ は現れない。像の大きさは焦点距離と視角だけで決まる。

大きなレンズにすると、集める光の量は増えるが、像は同じ大きさのまま明るくなるだけである。

③ 集光の比。 レンズが受ける光は、直径 $D$ の円を通る分すべてである。それが直径 $d$ の円に集まる。

$$\frac{(\text{強さ}{)}_{\text{像}}}{(\text{強さ}{)}_{\text{太陽光}}}=\frac{\pi D^2/4}{\pi d^2/4}={\left(\frac{D}{d}\right)}^2={\left(\frac{5.0\times 10^{-2}}{9.3\times 10^{-4}}\right)}^2\approx 2.9\times 10^3$$

もとの強さを掛けると

$$1.4\times 10^3\times 2.9\times 10^3\approx 4.0\times 10^{6}W/{\mathrm{m}}^2$$

紙が焦げるのも当然の強さである。

④ 焦点距離を $2$ 倍にすると。 像の直径は $f$ に比例するので $2$ 倍になる。

集める光の量(レンズの面積)は変わらないので、同じエネルギーが $4$ 倍の面積に広がることになる。

$$(\text{強さ})⟶\frac{1}{4}$$

焦げやすいのは、焦点距離の短いレンズである。

まとめ 像の大きさは $f\theta$、集光の比は ${\left(\frac{D}{d}\right)}^2$。$2$ つの式で、「大きいレンズは明るく、短い焦点距離は熱い」という性質が説明できる。

発展 — 一歩先へ。 ① の $d=f\theta$ は、望遠鏡の設計でそのまま使われる。焦点距離が長いほど、天体の像は大きくなる。

一方 ③ から、同じ天体を大きく写すほど像は暗くなることも分かる。だから望遠鏡では、口径 $D$ を大きくして光の量を稼ぐ。$\frac{D}{f}$(F 値の逆数)が明るさを決める、という写真の常識も同じ式から出ている。

「大きく写す」と「明るく写す」は本質的に両立しにくい。この緊張関係が、望遠鏡もカメラも大口径を目指す理由になっている。

別解

写像公式の極限として見るルート。 ① は「非常に遠い物体」という条件を、写像公式の極限として扱っても出せる。

物体までの距離を $a$、像までの距離を $b$ とすると

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$$

$a$ が非常に大きいと $\frac{1}{a}\to 0$ なので $b\to f$、つまり像は焦点面にできる。

倍率は $\frac{b}{a}=\frac{f}{a}$ である。太陽の実際の直径を $S$ とすると、像の直径は

$$d=S\cdot \frac{f}{a}=f\cdot \frac{S}{a}$$

ここで $\frac{S}{a}$ は「実際の直径 ÷ 距離」、つまり視角 $\theta$ そのものである。

$$d=f\theta$$

同じ式に到達した。太陽の直径($1.4\times 10^9\mathrm{m}$)も距離($1.5\times 10^{11}\mathrm{m}$)も知らなくてよく、比である視角だけで決まるのがこの式の便利なところである。実際 $\frac{1.4\times 10^9}{1.5\times 10^{11}}\approx 9.3\times 10^{-3}$ で、与えられた視角と一致する。