回折格子と白色光(スペクトルの重なり)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 回折格子では $\sin \theta =\frac{m\lambda }{d}$——波長に比例して曲がる(プリズムの分散と逆で、赤が外側)。白色光では各次数が「虹の帯」になり、次数が上がるほど帯は広がる——帯どうしの重なりが起こるかを数値で確かめる。

① 1 次のスペクトル。

$$紫:\sin \theta =\frac{4.0\times 10^{-7}}{2.0\times 10^{-6}}=0.20,赤:\frac{7.0\times 10^{-7}}{2.0\times 10^{-6}}=0.35$$

内側(中央寄り)は紫である(プリズムと逆順)。

② 2 次と 3 次の重なり。

$$2次の赤:\sin \theta =2\times 0.35=0.70,3次の紫:3\times 0.20=0.60$$

$3$ 次の紫($0.60$)は $2$ 次の赤($0.70$)より内側にある——つまり $\sin \theta$ が $0.60\sim 0.70$ の範囲では、2 次の橙〜赤と 3 次の紫〜青が同じ場所に重なって見える。

まとめ 「高次のスペクトルは重なる」——分光測定で高次を使うときは、フィルターで波長域を絞って重なりを除く必要がある。プリズム(紫が大きく曲がる・重ならない)と回折格子(赤が大きく曲がる・高次は重なる)の対比は、論述・正誤問題の定番である。

別解

重なりの条件を文字で一般化するルート。 $m$ 次の赤と $(m+1)$ 次の紫が重なる条件は $m{\lambda }_{赤}>(m+1){\lambda }_{紫}$。数値を入れると $m\times 7.0>(m+1)\times 4.0$ より $m>\frac{4}{3}$——$m\ge 2$ で必ず重なる(1 次と 2 次は $7.0>8.0$ が不成立で重ならない)。

数値実験を 1 つの不等式にまとめると、「どの次数から重なるか」まで一般に答えられる——文字式の威力である。