虹はなぜ決まった角度に見えるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 水滴に当たる光の入射角はばらばらである。それなのに虹が決まった角度に見えるのはなぜか。

答えは「偏角 $D$ が最小になる付近では、$i$ を少し変えても $D$ がほとんど変わらない」からである。だから多くの光線が同じ方向に重なり、そこだけ明るくなる。

つまり求めるのは $D(i)$ の最小値である。$r$ も $i$ に連動して変わるので、屈折の法則を微分して連動の仕方をつかむのが第一歩になる。

① 屈折の法則を微分する。 $\sin i=n\sin r$ の両辺を $i$ で微分する。右辺は $r$ を通して $i$ に依存する。

$$\cos i=n\cos r\cdot \frac{dr}{di}⟹\frac{dr}{di}=\frac{\cos i}{n\cos r}$$

② 最小の条件。 $D=180^{\circ }+2i-4r$ を $i$ で微分する。

$$\frac{dD}{di}=2-4\frac{dr}{di}=0⟹\frac{dr}{di}=\frac{1}{2}$$

① と合わせると

$$\frac{\cos i}{n\cos r}=\frac{1}{2}⟹2\cos i=n\cos r$$

両辺を $2$ 乗し、$n^2{\cos }^{2}r=n^2-n^2{\sin }^{2}r=n^2-{\sin }^{2}i$ を使う。

$$4{\cos }^{2}i=n^2-{\sin }^{2}i=n^2-(1-{\cos }^{2}i)$$

$$3{\cos }^{2}i=n^2-1⟹\cos i=\sqrt{\frac{n^2-1}{3}}$$

③ 数値。 $n=\frac{4}{3}$ だから $n^2-1=\frac{16}{9}-1=\frac{7}{9}$、

$$\cos i=\sqrt{\frac{7}{27}}=0.509⟹i=59.4^{\circ }$$

$$\sin r=\frac{\sin i}{n}=\frac{0.861}{4/3}=0.646⟹r=40.2^{\circ }$$

$$D=180^{\circ }+2\times 59.4^{\circ }-4\times 40.2^{\circ }=180^{\circ }+118.8^{\circ }-160.8^{\circ }=138.0^{\circ }$$

④ 見える角度と色の順。 偏角 $138.0^{\circ }$ は「光が向きを変えた角」である。太陽を背にした観測者から見ると、太陽と反対の方向(対日点)からの角度は

$$180^{\circ }-138.0^{\circ }=42.0^{\circ }$$

紫では $n=1.34$ と少し大きく、同じ計算をすると角度は約 $41^{\circ }$ と小さくなる。したがって赤が外側、紫が内側に見える。

夕立のあとの虹で、外側が赤いのはこのためである。

まとめ 虹の角度は、偏角が最小になる条件から決まる。「最小の付近では変化が鈍い」という微分の性質が、そのまま「そこに光が集中する」という物理につながっている。

発展 — 一歩先へ。 水滴の中で $2$ 回反射する光もある。同じ計算をすると偏角の最小値が変わり、約 $51^{\circ }$ の方向に別の虹ができる。これが副虹(二重の虹の外側の弱いほう)である。

$2$ 回反射のぶん光の順序が逆転するので、副虹は色の並びが主虹と逆になる(外側が紫)。実際に二重の虹を見ると、色の順が逆になっていることが確かめられる。

さらに、主虹と副虹のあいだの空は暗く見える。そこへ向かう光は、どちらの最小偏角の条件も満たさないからである。この暗い帯はアレキサンダーの暗帯とよばれる。

別解

グラフで「集まる」ことを見るルート。 微分の計算をする前に、$D(i)$ のグラフを描いてみると、なぜ特定の角度が明るくなるのかが見える。

$i$ を $0^{\circ }$ から $90^{\circ }$ まで動かすと、$D$ ははじめ減っていき、$59.4^{\circ }$ 付近で最小になり、その後また増える。

大事なのは最小の付近の形である。谷底はなだらかなので、$i$ が $55^{\circ }$ から $65^{\circ }$ まで $10^{\circ }$ も変わっても、$D$ は $0.5^{\circ }$ ほどしか変わらない。

水滴に当たる光は $i$ について一様に分布しているから、$D$ の値ごとに数えると、谷底付近の $D$ に対応する光線が圧倒的に多くなる。これが「光が集中する」の意味である。

逆に $i$ が小さいところ($D$ の変化が急なところ)では、光は広い角度範囲にばらけてしまい、明るさは生じない。

「最小値の付近では変化が鈍い」という性質は、干渉の明線でも、力学のつり合いでも顔を出す。グラフの谷底の形を見る習慣は、いろいろな場面で効いてくる。