物理 / 光

ニュートンリング

★★ 標準薄膜干渉ニュートンリング

問題

曲率半径 $R = 5.0 m$ の平凸レンズを平面ガラスの上に置き、真上から波長 $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ の光を当てると、接点を中心とする同心円状の縞(ニュートンリング)が見えた。中心から数えて 3 番目の暗環( $m = 3$ )の半径を求めよ。中心からの距離 $r$ での空気層の厚さは $d = \frac{r ^{2}}{2 R}$ としてよい。

レンズと平面ガラスの間の薄い空気層が干渉を起こす

ヒントを見る

くさび形と同じ「空気層の厚さで決まる干渉」である。違いは厚さの変わり方が直線でなく 2 次曲線であること。与えられた d の式を条件式に代入すれば、半径の式が出る。

解答・解説

方針

くさびと同じ反転 1 回→暗環 2d=mλ。d=r²/2R を代入して r=√(mλR)。中心は m=0 の暗点。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) ニュートンリングは「丸いくさび」である。空気層の厚さが接点から $d = \frac{r ^{2}}{2 R}$ で増えていく。反転の勘定も条件式もくさび形と同じで、幾何だけが差し替わる。

① 条件式。 反転 1 回(下面の空気→ガラスのみ)だから暗環は

$2 d = mλ$

② 半径を求める。 $d = \frac{r ^{2}}{2 R}$ を代入:

$\frac{r ^{2}}{R} = mλ ⟹ r = mλ R = 3 \times 6.0 \times 1 0^{- 7} \times 5.0 = 9.0 \times 1 0^{- 6} = 3.0 \times 1 0^{- 3} m$

同心円の暗環。3 番目の半径は √(3λR)

まとめ半径が $m$ に比例する( $1 : 2 : 3 : \dots$ )ので、外側ほど縞が詰まる。等間隔のくさび縞との見た目の違いはここに出る。中心( $d = 0$ )は $m = 0$ の暗点になる。これも反転 1 回の証拠である。レンズの曲率半径の精密検査に現役で使われている。

答

暗環条件 $2 d = mλ$ より $\frac{r ^{2}}{R} = mλ$ 、 $r = mλ R = 3 \times 6.0 \times 1 0^{- 7} \times 5.0 = 3.0 \times 1 0^{- 3} m = 3.0 mm$

別解

d=r²/2R の由来を確かめるルート(発展)。 円の弦の関係(三平方)から $r^{2} = R^{2} - (R - d)^{2} = 2 R d - d^{2}$ 。 $d$ は $1 0^{- 6} m$ 級で $R = 5 m$ に比べはるかに小さいから $d^{2}$ を捨てて

$r^{2} \approx 2 R d ⟹ d = \frac{r ^{2}}{2 R}$

小さい量の 2 乗は捨てる。単振り子の小角近似と同じ型の近似で、ここでも幾何が単純になる(厳密な導出は応用)。

ポイント

丸いくさび(条件は同じ)
r=√(mλR)(外ほど詰まる)
中心は暗点(反転 1 回の証拠)

よくある間違い

中心を明点とする
r²=2mλR と 2 倍する
√ を取り忘れる