ヤングの実験の公式の導出

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 導出の 2 つの柱は近似である——(1) 遠方近似(2 経路はほぼ平行→経路差は $d\sin \theta$)、(2) 小角近似($\sin \theta \approx \tan \theta$)。この 2 段で、幾何が一気に単純になる。

① 経路差。 P は十分遠いので、$S_1,S_2$ から P への 2 本の光線はほぼ平行(角 $\theta$ 方向)とみなせる。$S_1$ から $S_{2}P$ 側へ垂線を下ろすと、経路の差は直角三角形の一辺

$$S_{2}P-S_{1}P\approx d\sin \theta$$

さらに $\theta$ が小さいから $\sin \theta \approx \tan \theta =\frac{x}{l}$:

$$経路差\approx \frac{dx}{l}$$

② 明線の位置と間隔。 明線条件 経路差 $=m\lambda$ より

$$\frac{d{x}_m}{l}=m\lambda ⟹x_m=\frac{ml\lambda }{d}$$

隣との差を取って

$$\Delta x=x_{m+1}-x_m=\frac{l\lambda }{d}$$

まとめ 「遠いから平行、小角だから $\sin =\tan$」——2 つの近似の使いどころを言えることが、この導出の学力である。$x_m\propto m$ だから縞は等間隔になる——公式の形($l\lambda /d$)も、等間隔という性質も、導出の中にすべて入っている。誘導つきで出題される頻出の導出なので、自力で再現できるようにしておきたい。

別解

三平方で真面目に計算して近似を検証するルート。 $S_{1}P=\sqrt{l^2+(x-d/2{)}^2}$、$S_{2}P=\sqrt{l^2+(x+d/2{)}^2}$。$\sqrt{1+\epsilon }\approx 1+\frac{\epsilon }{2}$ の近似で

$$S_{2}P-S_{1}P\approx \frac{(x+d/2{)}^2-(x-d/2{)}^2}{2l}=\frac{2xd/2\cdot 2}{2l}\cdot \frac{1}{2}\cdots =\frac{dx}{l}$$

(分子の展開差は $2dx$、割る $2l$ で $\frac{dx}{l}$。)平行光の図を使わなくても同じ結果に着く——図の近似と式の近似が一致することが、導出の信頼性の裏づけである。