水中の光源から見える明るい円

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 光源から液面へ向かう光の入射角は、真上で 0°、水平方向に離れるほど大きくなる。臨界角 ${\theta }_c$ に達したところで「出られる/出られない」が切り替わる——その境界が円を描く。

① 臨界角。

$$\sin {\theta }_c=\frac{1}{n}=\frac{1}{1.25}=0.80$$

$\cos {\theta }_c=\sqrt{1-0.64}=0.60$(3:4:5 の三角形)だから

$$\tan {\theta }_c=\frac{0.80}{0.60}=\frac{4}{3}$$

② 円の半径。 深さ $h$ の光源から、入射角 ${\theta }_c$ で液面に届く点までの水平距離が半径:

$$r=h\tan {\theta }_c=3.0\times \frac{4}{3}=4.0\mathrm{m}$$

③ 外側が暗い理由。 半径 $4.0\mathrm{m}$ より外の液面には、入射角が臨界角を超えた光しか届かない。それらは全反射して液中へ戻るので、外の空気側へは光が出ない——円の外は暗い。

まとめ 逆に水中から空を見上げると、頭上の半頂角 ${\theta }_c$ の円錐の窓(スノーケラーの言う「スネルの窓」)の中に空全体が圧縮されて見え、窓の外は全反射の鏡になる——同じ幾何の裏返しである。$3:4:5$ がここでも活躍した——$\sin {\theta }_c=0.80$ と来たら $\tan {\theta }_c=\frac{4}{3}$ が反射的に出るようにしておきたい。

別解

光の可逆性で「窓」とつなぐルート。 空のあらゆる方向($0°\sim 90°$)から液面に入る光は、屈折してすべて臨界角以内($0°\sim {\theta }_c$)の円錐に押し込まれる。逆向きにたどれば、光源から出て外へ出られるのはこの円錐の中の光だけ——明円の半径が $h\tan {\theta }_c$ になるのは、この円錐と液面の交わりだからである。

「外の 180° が水中の $2{\theta }_c$ に圧縮される」——魚眼レンズという名前の由来でもある。