光は最短時間の道を選ぶ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 屈折の法則は実験から見つかった規則だが、もっと上位の原理から導ける。「光は $2$ 点を結ぶ経路のうち、要する時間が最小になる道を通る」というものである。

やることは単純で、時間を $x$ の関数として書き、微分して $0$ とおくだけである。

面白いのは、その計算の途中で現れる分数が、そのまま $\sin i$ と $\sin r$ になっていることである。式が図形の意味を勝手に教えてくれる。

① 時間の式。 三平方の定理で $2$ 区間の距離を書く。

$$\mathrm{AP}=\sqrt{a^2+x^2},\mathrm{PB}=\sqrt{b^2+(\ell -x{)}^2}$$

速さはそれぞれ $\frac{c}{n_1}$、$\frac{c}{n_2}$ だから

$$T(x)=\frac{n_1\sqrt{a^2+x^2}}{c}+\frac{n_2\sqrt{b^2+(\ell -x{)}^2}}{c}$$

分子は光路長(距離 × 屈折率)の和である。つまり「時間が最小」は「光路長が最小」と同じことである。

② 屈折の法則の導出。 $x$ で微分する。

$$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(\frac{n_{1}x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{n_2(\ell -x)}{\sqrt{b^2+(\ell -x{)}^2}}\right)$$

ここで図を見ると、$\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$ は入射角 $i$ の正弦、$\frac{\ell -x}{\sqrt{b^2+(\ell -x{)}^2}}$ は屈折角 $r$ の正弦である(どちらも「対辺 ÷ 斜辺」)。

$$\frac{dT}{dx}=\frac{1}{c}\left(n_1\sin i-n_2\sin r\right)$$

最小の条件 $\frac{dT}{dx}=0$ より

$$n_1\sin i=n_2\sin r$$

屈折の法則が出た。

③ 数値。

$$1\times 0.80=\frac{4}{3}\sin r⟹\sin r=0.80\times \frac{3}{4}=0.60$$

入射角 $53.1^{\circ }$、屈折角 $36.9^{\circ }$ である。

④ 屈折率が連続的に変わる場合。 暑い日には地面に近いほど空気が熱く、密度が小さいので屈折率も小さい。屈折率が小さい = 光が速く進める、ということである。

光は最短時間の道を選ぶので、「速く進める下のほう」を回り道してでも通ろうとする。その結果、光の道すじは下に凸に曲がる。

遠くの地面すれすれを通ってきた光が、下に凸に曲がって観測者の目に届くと、空の光が地面から来たように見える。これが路面が濡れて見える蜃気楼(逃げ水)である。

まとめ 屈折の法則は、より一般的な「最小の原理」から導かれる。しかもその導出の途中で、$\sin$ が自然に現れる。原理から出発すると、屈折率が連続的に変わる場合まで同じ考え方で扱える。

発展 — 一歩先へ。 「時間が最小」という言い方は、正確には「時間が停留値をとる」である。凹面鏡での反射のように、最大になる経路が実現することもある。

この原理は光だけのものではない。粒子の運動にも同じ形の原理(最小作用の原理)があり、そこからニュートンの運動方程式が導かれる。

高校で習う法則の多くは、「何かが最小(または停留)になる」という形に書き直せる。物理の見晴らしが一段変わる考え方である。

別解

ライフガードの問題として考えるルート。 式を立てる前に、直感で答えの形をつかむ方法がある。

浜辺にいるライフガードが、沖でおぼれている人のところへ行く。走る速さは泳ぐ速さより大きい。まっすぐ向かうのが最短距離だが、最短時間ではない。

速く動ける浜をなるべく長く使い、遅い水中の距離を減らすように、水際で「折れ曲がった」道を選ぶのが最速である。

光もこれと同じである。速く進める媒質(屈折率が小さい)のほうを長めに、遅い媒質を短めに通る。だから屈折率の大きい媒質に入ると、光は法線に近づく向きに折れる。

この見方をもっていると、$\sin$ の比の向きを間違えなくなる。$n_1\sin i=n_2\sin r$ で $n_2$ が大きければ $\sin r$ は小さく、つまり法線に近づく。「遅い媒質では短く進む」と一致している。

公式の形を忘れても、「速いほうを長く使う」という一言から再構成できる。