凹面鏡の実像

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 凹面鏡は「折り返す凸レンズ」である——公式・符号・像の性格の対応はレンズと同一で、実像が手前側にできる点だけが違う。

① 像の位置。

$$\frac{1}{b}=\frac{1}{20}-\frac{1}{30}=\frac{3-2}{60}=\frac{1}{60}⟹b=60\mathrm{cm}(鏡の前方)$$

② 倍率。

$$m=\frac{b}{a}=\frac{60}{30}=2倍$$

③ 種類。 焦点の外の物体だから倒立の実像(スクリーンに映せる)。

まとめ 凹面鏡はレンズと違って色収差がない(反射は波長によらない)ため、大型望遠鏡はすべて凹面鏡(反射望遠鏡)である。作図もレンズと同じ 3 本の光線(平行→焦点へ/焦点→平行へ/球心を通る光は正面衝突で折り返す)で描ける——「レンズで学んだことが 9 割そのまま使える」単元である。

別解

f=R/2 の関係で球面とつなぐルート。 凹面鏡の焦点距離は球面の曲率半径の半分 $f=\frac{R}{2}$——この鏡は $R=40\mathrm{cm}$ の球面の一部である。球の中心($R=40\mathrm{cm}$ の点)に物体を置けば $a=b=R$ の等倍(レンズの $2f$ 配置に対応)。

$2f=R$、つまり「レンズの $2f$ の役を球心が務める」——幾何の意味づけまで持っておくと、凹面鏡の問題は暗記ゼロで解ける。