物理 / 光

スリットの前にガラス板を入れる

★★★ 応用干渉光路長

問題

ヤングの実験装置の片方のスリット $S_{1}$ の直前に、厚さ $t = 6.0 \times 1 0^{- 6} m$ 、屈折率 $n = 1.5$ の薄いガラス板を差し込んだ。光の波長は $6.0 \times 1 0^{- 7} m$ である。(1) ガラス板を通ることで、 $S_{1}$ 側の光路長はいくら増えるか。 (2) 干渉縞は何本分移動するか。また、どちら側(ガラスを入れた側か反対側か)へ動くか。

ヒントを見る

ガラスの中では波長が縮む——同じ厚さ t の中に、真空(空気)より多くの波が詰まる。「何波長分の遅れが生じたか」を数えれば、それがそのまま移動する縞の本数になる。中央の明線(経路差 0 の点)がどちらへ動くかを考えよう。

解答・解説

方針

ガラス中の光学的距離は nt(幾何 t の n 倍)→増加は (n−1)t。縞は遅れた側の経路差を取り戻す向き=ガラス側へ (n−1)t/λ 本移動。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ガラス板の効果は「距離が $t$ から $n t$ に化ける」ことである(光路長)。幾何的な距離は変わらないのに、波の数で数えると $n$ 倍の道のりを歩いたのと同じ——差し引き $(n - 1) t$ の遅れが $S_{1}$ 側にだけ生じる。

① 光路長の増加。

$(n - 1) t = (1.5 - 1) \times 6.0 \times 1 0^{- 6} = 3.0 \times 1 0^{- 6} m$

② 縞の移動。 この遅れは波長の何個分か:

$N = \frac{( n - 1 ) t}{λ} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 6}}{6.0 \times 1 0 ^{- 7}} = 5 本分$

向き: 中央の明線(2 つの光が同位相で届く点)は、 $S_{1}$ 側の遅れ $(n - 1) t$ を幾何的な近道で取り戻せる位置、すなわちガラスを入れた $S_{1}$ 側へ移る。縞全体が 5 本分、 $S_{1}$ 側へ平行移動する。

遅れた S₁ 側へ、縞全体が 5 本分移動する

まとめ 「幾何距離×屈折率=光路長」で数え直すのが光の干渉の鉄則である。移動の向きは丸暗記せず、「遅れた側へ中央線が寄る(近道で帳尻を合わせる)」と理屈で再建する。この実験は逆に使うと、縞の移動本数から薄膜の厚さや気体の屈折率が精密に測れる——干渉計測の基本原理である。

答

(1) $(n - 1) t = 0.5 \times 6.0 \times 1 0^{- 6} = 3.0 \times 1 0^{- 6} m$ (2) $N = \frac{( n - 1 ) t}{λ} = \frac{3.0 \times 1 0 ^{- 6}}{6.0 \times 1 0 ^{- 7}} = 5$ 本分、ガラスを入れた $S_{1}$ 側へ移動する

別解

時間の遅れで見るルート。 ガラス中の速さは $\frac{c}{n}$ 。厚さ $t$ の通過時間は $\frac{n t}{c}$ で、空気なら $\frac{t}{c}$ ——差は $\frac{( n - 1 ) t}{c}$ の時間の遅れである。この間に光は真空中を $(n - 1) t$ 進む——「時間の遅れ×光速=光路長の増加」で同じ量に着く。

「光路長=同じ時間で真空を進める距離」という意味づけを持つと、 $n t$ という掛け算が単なる規則でなく物理として腑に落ちる。

ポイント

光路長=幾何距離×n
増加 (n−1)t を λ で割ると本数
中央線は遅れた側へ寄る

よくある間違い

nt をそのまま増加分とする
移動の向きを反対にする
縞の間隔も変わるとする(間隔は不変)