物理 / 光

2 枚のレンズの組み合わせ

★★★ 応用レンズ組み合わせ

問題

焦点距離 $10 cm$ の凸レンズ $L_{1}$ の前方 $15 cm$ に物体を置き、 $L_{1}$ の後方 $40 cm$ に焦点距離 $5.0 cm$ の凸レンズ $L_{2}$ を置いた。(1) $L_{1}$ が作る像の位置 (2) 最終的な像の位置と全体の倍率 (3) 最終像の向きを求めよ。

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2 枚のレンズは「リレー」で処理する——1 枚目の像がどこにできるかを先に確定し、それを 2 枚目にとっての物体とみなして、もう一度写像公式。倍率は 2 つの倍率の積になる。

解答・解説

方針

リレー方式: L1 の像→L2 の物体。a2=40−30=10、1/b2=1/5−1/10=1/10 → b2=10。倍率は積。倒立×倒立=正立。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 組み合わせレンズの原則はただ 1 つ——「 $L_{1}$ の像を $L_{2}$ の物体とみなすリレー」である。1 枚ずつ順番に、同じ公式を 2 回使う。

① L₁ の像。

$\frac{1}{b _{1}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{1}{30} ⟹ b_{1} = 30 cm (倒立、 m_{1} = 2)$

② L₂ でのリレー。 $L_{1}$ の像は $L_{2}$ の手前 $40 - 30 = 10 cm$ ——これが $L_{2}$ の物体( $a_{2} = 10$ ):

$\frac{1}{b _{2}} = \frac{1}{5.0} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} ⟹ b_{2} = 10 cm (L_{2} の後方)$

倍率は積:

$m = m_{1} \times m_{2} = \frac{30}{15} \times \frac{10}{10} = 2 \times 1 = 2 倍$

③ 向き。 $L_{1}$ で倒立、 $L_{2}$ で再び倒立——倒立の倒立で、元の物体に対して正立の実像である。

L₁ の像を L₂ の物体としてリレー。倒立×倒立=正立

まとめ 望遠鏡・顕微鏡・カメラのズームレンズ——実用光学はすべてこのリレーの積み重ねである。注意点は 1 つ、中間像が $L_{2}$ より後ろにできる場合( $a_{2} < 0$ の「虚物体」)もリレーの式はそのまま通用する——符号の約束が面倒を全部引き受けてくれる。

答

(1) $L_{1}$ の後方 $30 cm$ (倒立 2 倍) (2) $L_{1}$ の像を $L_{2}$ の物体( $a_{2} = 10 cm$ )として $b_{2} = 10 cm$ 、全体の倍率 $2 \times 1 = 2$ 倍 (3) $L_{2}$ で再び倒立するので、元の物体に対して正立

別解

中間像を実際に「置いて」考えるルート。 $L_{1}$ の実像の位置には、光が本当に集まって「空中の物体」ができている(スクリーンを置けば映る)。 $L_{2}$ はその空中の物体を、単独のレンズとして写しているだけ——リレー方式が正当な理由は、実像が本物の物体と同じ資格で光を発散するからである。

顕微鏡は「対物レンズが作った拡大実像を、接眼レンズ(虫めがね)でさらに拡大して見る」——このリレーの言葉で全体構造が 1 行で言える。

ポイント

L1 の像=L2 の物体(リレー)
倍率は積 m1×m2
倒立×倒立=正立

よくある間違い

a2 をレンズ間距離 40 のまま使う
倍率を和にする
向きの掛け合わせを忘れる