波の伝わり方と音 — 反射・屈折・干渉・ドップラー効果

振動数 $500\mathrm{Hz}$ の音波の波長が $0.68\mathrm{m}$ であった。この音波の速さを求めよ。

$x$ 軸上を伝わる正弦波の変位が、位置 $x$ [m]、時刻 $t$ [s] を用いて

$$y=0.10\sin 2\pi \left(\frac{t}{2.0}-\frac{x}{4.0}\right)[\mathrm{m}]$$

と表される。(1) 振幅 (2) 周期 (3) 波長 (4) 波の速さと進む向き を求めよ。

図 1 は $x$ 軸を正の向きに進む波の、ある時刻の波形($y$-$x$ グラフ)である。図 2 は同じ波の、ある 1 点の変位の時間変化($y$-$t$ グラフ)である。(1) 波長 (2) 周期 (3) 波の速さ を読み取れ。

$x$ 軸正の向きに進む縦波(疎密波)を、$x$ 軸正の向きの変位を $y$ 軸正の向きに描き直して横波のように表示したところ、図のような波形になった。図の A〜D のうち、(1) 最も密な点 (2) 最も疎な点 はそれぞれどれか。

図のような山型のパルス波が、$x$ 軸正の向きに進んで自由端に入射する。パルス全体が反射し終わった後の反射波の形を描け。山は山のまま返るか、谷になって返るか。

図のような山型のパルス波が、$x$ 軸正の向きに進んで固定端に入射する。パルス全体が反射し終わった後の反射波の形を描け。山は山のまま返るか、谷になって返るか。

波が媒質 1 から媒質 2 へ進むとき、波長が $0.80\mathrm{m}$ から $0.60\mathrm{m}$ に変わった。媒質 1 での波の速さを $340m/s$ とする。(1) 振動数は変わるか。媒質 1 での振動数を求めよ。 (2) 媒質 2 での波の速さ (3) 媒質 1 に対する媒質 2 の屈折率 $n_{12}$ を求めよ。

空気中の音速は、気温 $t$ [℃] のとき $V=331.5+0.6t$ [m/s] と表される。(1) 気温 15 ℃ での音速を求めよ。 (2) 雷の光が見えてから 3.0 秒後に音が聞こえた。雷までの距離はおよそ何 km か。

水面上の 2 点 $S_1,S_2$ から、同位相・波長 $0.20\mathrm{m}$ の波が出ている。点 P は $S_1$ から $1.5\mathrm{m}$、$S_2$ から $0.9\mathrm{m}$ の位置にある。点 P では波は強め合うか、弱め合うか。

振動数 $640\mathrm{Hz}$ のサイレンを鳴らした救急車が、速さ $20m/s$ で静止した観測者に近づいてくる。観測者が聞く音の振動数を求めよ。音速を $340m/s$ とする。

静止した音源が振動数 $680\mathrm{Hz}$ の音を出している。観測者が速さ $20m/s$ で音源に近づくとき、観測者が聞く音の振動数を求めよ。音速を $340m/s$ とする。

線密度(1 m あたりの質量)$1.0\times 10^{-3}kg/m$ の弦を張力 $90\mathrm{N}$ で張った。この弦を伝わる波の速さ $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$($S$: 張力、$\rho$: 線密度)を求めよ。また、張力を 4 倍にすると速さは何倍になるか。

振幅 $0.20\mathrm{m}$、波長 $2.0\mathrm{m}$、周期 $0.50$ 秒の正弦波が $x$ 軸正の向きに進んでいる。時刻 $t=0$ に原点 $x=0$ の変位は 0 で、直後に $+y$ 向きに動き始めた。(1) この波の変位 $y$ を $x,t$ の式で表せ。 (2) 波の速さを求めよ。

$x$ 軸正の向きに速さ $2.0m/s$ で進む縦波の横波表示($+x$ 向き変位を $+y$ に描く)が図のようになっている。A〜D のうち、(1) 最も密な点 (2) 媒質の速度が $+x$ 向きに最大の点 (3) 媒質の速度が 0 の点 をすべて答えよ。

波長 $0.80\mathrm{m}$ の正弦波が壁(固定端)に垂直に入射し、反射波と重なって定常波ができた。壁を原点として、(1) 節の位置 (2) 腹の位置 を壁からの距離で表せ(いくつか挙げよ)。

水面波が深い領域から浅い領域へ、境界に斜めに入射する。入射角 ${\theta }_1$、屈折角 ${\theta }_2$ について $\sin {\theta }_1=0.80$、$\sin {\theta }_2=0.60$ であった。深い領域での波の速さを $0.40m/s$ とする。(1) 浅い領域での波の速さ (2) 波は境界で法線に近づくように曲がったか、離れるように曲がったか を答えよ。

水面上の 2 点 $S_1,S_2$(間隔 $d=3\lambda$)から同位相の波が出ている。2 つの波が強め合う点の集まり(腹線)は全部で何本できるか。

振動数 $720\mathrm{Hz}$ の警笛を鳴らした電車が、速さ $20m/s$ で踏切に立つ観測者の前を通過した。(1) 通過前(近づくとき) (2) 通過後(遠ざかるとき) に聞こえる振動数をそれぞれ求め、通過の瞬間に振動数がどれだけ跳び下がるかを答えよ。音速を $340m/s$ とする。

振動数 $600\mathrm{Hz}$ のサイレンを鳴らす消防車が速さ $20m/s$ で走り、その正面から観測者が速さ $20m/s$ で近づいている。観測者が聞く振動数を求めよ。音速を $340m/s$ とする。

静止した音源が振動数 $680\mathrm{Hz}$ の音を出し、その正面から反射板が速さ $20m/s$ で音源に近づいてくる。(1) 反射板が受け取る音の振動数 (2) 反射板で反射して音源の位置に戻ってきた音の振動数 (3) 音源のそばの観測者が聞く、直接音と反射音のうなりの回数(毎秒) を求めよ。音速を $340m/s$ とする。

長さ $0.50\mathrm{m}$ の弦を張力 $90\mathrm{N}$ で張った。弦の線密度は $1.0\times 10^{-3}kg/m$ である。(1) 弦を伝わる波の速さ (2) 基本振動の振動数 (3) 2 倍振動(腹 2 個)の振動数 を求めよ。

水を入れたガラス管の口の近くで振動数の分からないおんさを鳴らし、水面を下げていくと、管口から水面までの長さが $L_1=0.19\mathrm{m}$ と $L_2=0.59\mathrm{m}$ のときに共鳴した。音速を $340m/s$ とする。(1) 音の波長 (2) おんさの振動数 (3) 開口端補正(管口から腹までの距離)を求めよ。

波長 $4.0\mathrm{m}$ の正弦波が $x$ 軸上を伝わっている。$x$ 軸上で $1.0\mathrm{m}$ 離れた 2 点の振動の位相差を求めよ。また、同じ波で位相差が $2\pi$(同位相)になるのは何 m 離れた 2 点か。

ホイヘンスの原理を用いて、波が速さ $v_1$ の媒質から速さ $v_2$ の媒質へ入射するとき、屈折の法則

$$\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}$$

が成り立つことを説明せよ。ここで ${\theta }_1,{\theta }_2$ は入射角・屈折角である。

原点 $x=0$ の媒質が $y(0,t)=A\sin \frac{2\pi t}{T}$ と単振動しており、この振動が速さ $v$ で $x$ 軸正の向きに伝わっていく。(1) 位置 $x$ の媒質の振動は、原点より何秒遅れるか。 (2) 位置 $x$、時刻 $t$ の変位 $y(x,t)$ を求め、波長 $\lambda =vT$ を用いて

$$y=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$$

と書けることを示せ。

振動数 $f$ の音源が、速さ $v_s$ で静止した観測者へ向かって動いている。音速を $V$ とする。(1) 音源の前方にできる波の波長 ${\lambda }^{\prime }$ を求めよ。 (2) 観測者が聞く振動数 $f^{\prime }$ を求めよ。 (3) $f=640\mathrm{Hz}$、$v_s=20m/s$、$V=340m/s$ で値を確かめよ。

振動数 $660\mathrm{Hz}$ の音源が速さ $20m/s$ でまっすぐな道を走っている。音源から見て進行方向と $60°$ の方向にいる観測者(静止)に届く音の振動数を求めよ。音速を $340m/s$ とする。

振動数 $680\mathrm{Hz}$ の音源が、静止した観測者へ向かって速さ $20m/s$ で近づいている。音源から観測者へ向かう向きに速さ $20m/s$ の風が吹いている。観測者が聞く振動数を求めよ。無風時の音速を $340m/s$ とする。また、無風の場合の値と比べよ。

閉管(長さ $0.25\mathrm{m}$、開口端補正は無視)が基本振動で共鳴している。(1) 音速が $340m/s$ のときの基本振動数を求めよ。 (2) 気温が上がって音速が $344m/s$ になった。基本振動数はいくらになるか。 (3) 温度変化の前後の音を同時に鳴らせたとすると、毎秒何回のうなりが聞こえるか。

水面上の 2 点 $S_1,S_2$(間隔 $2.0\mathrm{m}$)から、同位相・波長 $0.50\mathrm{m}$ の波が出ている。(1) 強め合う線(腹線)は全部で何本か。 (2) $S_1$ から $2.25\mathrm{m}$、$S_2$ から $1.75\mathrm{m}$ の点 P は強め合うか弱め合うか。 (3) 波長を少し長くしていくと、腹線の本数はどうなるか。

振動数 $720\mathrm{Hz}$ の音源が、半径 $r$ の円周上を速さ $20m/s$ で等速円運動している。円の外の遠方に静止した観測者がいる。(1) 観測者が聞く振動数の最大値と最小値 (2) 音源が円周上のどの位置で出した音が、最大・最小として聞こえるか (3) 円の中心で聞く観測者にはどう聞こえるか を答えよ。音速を $340m/s$ とする。

$+x$ 向きに進む波 $y_1=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$ と、$-x$ 向きに進む同振幅・同波長の波 $y_2=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda }\right)$ が重なった。(1) 合成波 $y=y_1+y_2$ を、和積の公式 $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ を用いて簡単にせよ。 (2) 合成波が「進まない波(定常波)」であることを式から読み取り、節の位置と節の間隔を求めよ。

音速 $v=340m/s$ の空気中を、飛行機が一定の速さ $V$ で水平に飛んでいる。飛行機は進みながら音を出し続けており、時刻 $t$ だけ前に出た音は、そのときの位置を中心とする半径 $vt$ の球面に広がっている。

$V>v$ のとき、これらの球面は共通の円錐面に接する。この円錐の頂点は飛行機で、円錐の面が衝撃波(ソニックブーム)として伝わる。

(1) 円錐の中心軸(飛行機の進む向き)と円錐の面がなす角を $\theta$ とする。$\sin \theta =\frac{v}{V}$ となることを、$t$ 秒間に飛行機と音が進む距離から示せ。

(2) $V$ が音速の $2$ 倍のとき、$\theta$ を求めよ。

(3) 高度 $3400\mathrm{m}$ をマッハ $2$ で飛ぶ飛行機が真上を通過したあと、地上の観測者に衝撃波が届くのは何秒後か。$\tan 30^{\circ }=0.577$ とする。

(4) 飛行機の速さが音速に近づくとき、また音速より遅いとき、円錐はどうなるか。

長さ $L=0.60\mathrm{m}$ の弦の両端を固定し、弦を伝わる波の速さを $v=300m/s$ とする。

弦をはじくと、いくつもの振動(基本振動と倍振動)が同時に励起され、その組み合わせが音色を決める。ただし、はじいた点が節になるような振動は励起されない。その点は動かないはずなのに、はじいて動かしてしまうと矛盾するからである。

(1) 基本振動数と、$2$ 倍振動・$3$ 倍振動の振動数を求めよ。

(2) 弦のちょうど中央をはじいた。$8$ 倍振動までのうち、励起されないのはどれか。理由とともに答えよ。

(3) 端から $\frac{L}{3}$ の位置をはじいた場合はどうか。

(4) ギターやピアノでは、弦の端に近いところをはじく(打つ)と硬い音になり、中央に近いほど柔らかい音になる。その理由を述べよ。

線密度(単位長さあたりの質量)が ${\rho }_1=1.0\times 10^{-3}kg/m$ の細い弦と、${\rho }_2=4.0\times 10^{-3}kg/m$ の太い弦をつなぎ、張力 $S=40\mathrm{N}$ で張る。

細い弦の側から、振動数 $f=100\mathrm{Hz}$ の連続した波を送りこむ。弦を伝わる波の速さは $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$ である。

(1) それぞれの弦での波の速さを求めよ。

(2) つなぎ目を越えたとき、振動数と波長はそれぞれどうなるか。値を求めよ。

(3) つなぎ目では反射も起こる。細い弦から太い弦へ向かう波の反射は、自由端反射と固定端反射のどちらに近いか。理由とともに答えよ。

(4) 逆に、太い弦の側から波を送りこんだ場合はどうか。

騒音と同じ振幅で位相が $\pi$ ずれた音波を出して、騒音を打ち消す装置がある。

音速を $340m/s$ とする。振動数 $1000\mathrm{Hz}$ の騒音を、位相を $\pi$ ずらした同じ振幅の音で打ち消す。

耳の位置が「完全に打ち消される点」から $\Delta x$ だけずれると、$2$ つの音の経路差が $\Delta x$ だけ生じる。このとき合成波の振幅は、$1$ つの音の振幅を $A$ として

$$2A\left|\sin \frac{\pi \Delta x}{\lambda }\right|$$

となる。

(1) $1000\mathrm{Hz}$ の音の波長を求めよ。

(2) $\Delta x=\frac{\lambda }{4}$ のときの合成波の振幅を求めよ。打ち消しになっているか。

(3) 合成波の振幅を $0.2A$ 以下に保つには、位置のずれをどれだけ以内にする必要があるか。${\sin }^{-1}0.1=0.100\mathrm{rad}$ とする。

(4) $100\mathrm{Hz}$ の低い音では、(3) の範囲はどうなるか。ヘッドホンでない「空間の騒音制御」が低い音にしか使えない理由を述べよ。

空気中の音速は温度によって変わり、$v=331+0.6t$($t$ は摂氏温度)で表される。

大気の温度は高さによって変わるので、音速も高さによって変わる。音の進む道すじ(音線)は、光と同じように屈折の法則にしたがう。鉛直方向からの角を $\theta$ とすると、$\frac{\sin \theta }{v}$ が一定に保たれる。

(1) 昼間は地表付近が暖かく、上空ほど冷たい。地表 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$、上空 $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ として、それぞれの音速を求めよ。

(2) このとき、地表から斜め上に出た音線は、上に行くほど鉛直に近づくか、水平に近づくか。屈折の法則から答えよ。

(3) 夜は地表付近が冷え、上空のほうが暖かくなることがある(逆転層)。地表 $10{}^{\circ }\mathrm{C}$、上空 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ として、地表から水平に対して小さい角で出た音線が、やがて地表へもどってくる条件を求めよ。

(4) (2) と (3) から、昼と夜で遠くの音の聞こえ方が違う理由を説明せよ。

波長が水深に比べて十分に長い波(長波)の速さは、水深 $h$ と重力加速度 $g$ だけで決まり

$$v=\sqrt{gh}$$

と表される。津波はこの条件を満たす。$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 水深 $4000\mathrm{m}$ の外洋での津波の速さを、m/s と km/h で求めよ。

(2) 水深 $10\mathrm{m}$ の沿岸ではどうか。

(3) 太平洋を $8000\mathrm{km}$ 横断するのに要する時間を求めよ(水深は $4000\mathrm{m}$ 一定とする)。

(4) 津波の周期を $10$ 分とする。外洋と沿岸での波長を求めよ。また、岸に近づくと波が高くなる理由を、波長の変化から説明せよ。

音速を $v=340m/s$、音源の出す音の振動数を $f=500\mathrm{Hz}$ とする。空気は静止しているものとする。

次の $2$ つの場合を比べる。

場合 A: 観測者は静止し、音源が観測者に向かって速さ $u$ で近づく 場合 B: 音源は静止し、観測者が音源に向かって速さ $u$ で近づく

(1) $u=34m/s$ のとき、A と B で観測される振動数をそれぞれ求めよ。

(2) $2$ つが一致しない理由を、波長が変わるのか、受け取る回数が変わるのかという観点から説明せよ。

(3) $\frac{u}{v}$ が小さいとき、どちらの場合も $f\left(1+\frac{u}{v}\right)$ に近づくことを示せ。また差はどの程度か。

(4) $u=170m/s$($=0.5v$)のときの $2$ つの振動数を求め、差が大きくなることを確かめよ。

音を $2$ つの経路に分け、再び合流させて聞く装置(クインケ管)がある。一方の管は $\mathrm{U}$ 字形で、引き出すことで経路の長さを変えられる。

引き出す長さを $d$ とすると、$\mathrm{U}$ 字部分は往復するので、$2$ つの経路の差は $2d$ になる。

スピーカーから一定の振動数の音を出し、$d$ を $0$ から少しずつ大きくしていくと、音が小さくなる位置がくり返し現れた。連続する $2$ つの「音が小さくなる位置」の間隔は $0.25\mathrm{m}$ であった。音速を $340m/s$ とする。

(1) 音が小さくなる条件を、$d$ と波長 $\lambda$ で表せ。

(2) 連続する $2$ つの位置の間隔が $\frac{\lambda }{2}$ になることを示し、波長と振動数を求めよ。

(3) $d=0$ から数えて最初に音が小さくなる位置を求めよ。

(4) 振動数を $1360\mathrm{Hz}$ に変えると、位置の間隔はどうなるか。