物理 / 波の伝わり方と音

ドップラー効果(通過の前後)

★★ 標準ドップラー効果

問題

振動数 $720 Hz$ の警笛を鳴らした電車が、速さ $20 m/s$ で踏切に立つ観測者の前を通過した。(1) 通過前(近づくとき) (2) 通過後(遠ざかるとき) に聞こえる振動数をそれぞれ求め、通過の瞬間に振動数がどれだけ跳び下がるかを答えよ。音速を $340 m/s$ とする。

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同じ公式の分母の符号が、通過の瞬間に切り替わる。近づくときと遠ざかるときを別々に計算して並べれば、「ミョーン」と下がるあの音の正体が数値で見える。

解答・解説

方針

近づき: 分母 V−vs=320。遠ざかり: 分母 V+vs=360。765−680=85 Hz の段差。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 踏切の「ファーン→ミョーン」の正体を計算する問題である。通過の瞬間、公式の分母が $V - v_{s}$ から $V + v_{s}$ へ切り替わる——2 つの場合を別々に計算して並べる。

① 通過前(近づく)。

$f_{1} = 720 \times \frac{340}{340 - 20} = 720 \times \frac{340}{320} = 765 Hz$

② 通過後(遠ざかる)。

$f_{2} = 720 \times \frac{340}{340 + 20} = 720 \times \frac{340}{360} = 680 Hz$

③ 段差。

$f_{1} - f_{2} = 765 - 680 = 85 Hz$

聞こえる振動数の時間変化。通過の瞬間に段差ができる

まとめ 注目すべきは、どちらも元の 720 Hz ではないこと——「近づく間ずっと 765、遠ざかる間ずっと 680」で、元の高さは真横を通る一瞬にしか聞こえない。また $f_{1}$ の上がり幅(45)と $f_{2}$ の下がり幅(40)は対称でない(分母の変化は対称でも比は非対称)。この非対称性は計算でしか気づけない、よい検算ポイントである。

答

(1) $720 \times \frac{340}{320} = 765 Hz$ (2) $720 \times \frac{340}{360} = 680 Hz$ 。通過の瞬間に $85 Hz$ 下がる

別解

波長で 2 つの場合を一気に見るルート。 音源の前方では波が詰まり $λ_{1} = \frac{320}{720} = \frac{4}{9} m$ 、後方では伸びて $λ_{2} = \frac{360}{720} = \frac{1}{2} m$ 。観測者はどちらも音速 340 で受けるから

$f_{1} = \frac{340}{4/9} = 765, f_{2} = \frac{340}{1/2} = 680 Hz$

「前は詰まる・後ろは伸びる」という 1 枚の波面の絵に、通過前後の 2 つの答えが同居している。

ポイント

通過の瞬間に分母が切り替わる
元の振動数はどちらでも聞こえない
上がり幅と下がり幅は非対称

よくある間違い

遠ざかりも V−vs で計算する
通過前後の平均が 720 になると思い込む
vs を分子に入れる