うなりと気柱(温度の効果)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 気柱の共鳴で管が決めるのは波長($\lambda =4L$、閉管の基本)であって振動数ではない。振動数は $f=\frac{V}{\lambda }$ で音速と組んで決まる——だから温度(音速)が変われば振動数が動く。

① 音速 340 のとき。 閉端=節、開口=腹で、管に $\frac{\lambda }{4}$ が入る:

$$\lambda =4L=1.0\mathrm{m},f=\frac{V}{\lambda }=\frac{340}{1.0}=340\mathrm{Hz}$$

② 音速 344 のとき。 波長は管の幾何で固定のまま:

$$f^{\prime }=\frac{344}{1.0}=344\mathrm{Hz}$$

③ うなり。

$$344-340=4回/秒$$

まとめ パイプオルガンや管楽器の音程が会場の温度で変わるのはこのためである(弦楽器は $v=\sqrt{S/\rho }$ で温度の影響が小さく、合奏前のチューニングが要る)。「管は波長を固定し、温度が振動数を動かす」——気柱の物理の芯を、楽器という実物で確かめられる問題である。

別解

比で一気に出すルート。 $f\propto V$(波長固定)だから

$$f^{\prime }=340\times \frac{344}{340}=344\mathrm{Hz}$$

——増分は $\Delta f=f\frac{\Delta V}{V}$ と書け、音速 1 % 増で振動数も 1 % 増。$V=331.5+0.6t$ を使えば「気温 1 ℃ 上昇 → 約 0.6 m/s 増 → 340 Hz の管なら約 0.6 Hz 上がる」と、温度計代わりの見積もりまでできる。