うなりと気柱(温度の効果)

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 気柱の共鳴で管が決めるのは波長($\lambda =4L$、閉管の基本)であって振動数ではない。振動数は $f=\frac{V}{\lambda }$ で、音速とあわせて決まる。だから温度(音速)が変われば振動数が変わる。

① 音速 340 のとき。 閉端=節、開口=腹で、管に $\frac{\lambda }{4}$ が入る:

$$\lambda =4L=1.0\mathrm{m},f=\frac{V}{\lambda }=\frac{340}{1.0}=340\mathrm{Hz}$$

② 音速 344 のとき。 波長は管の幾何で固定のまま:

$$f^{\prime }=\frac{344}{1.0}=344\mathrm{Hz}$$

③ うなり。

$$344-340=4回/秒$$

まとめパイプオルガンや管楽器の音程が会場の温度で変わるのはこのためである(弦楽器は $v=\sqrt{S/\rho }$ で温度の影響が小さく、合奏前のチューニングが要る)。管は波長を固定し、温度が振動数を変える。気柱のこの性質を、楽器という身近な例で確かめられる問題である。

別解

比ですぐに出すルート。 $f\propto V$(波長固定)だから

$$f^{\prime }=340\times \frac{344}{340}=344\mathrm{Hz}$$

増分は $\Delta f=f\frac{\Delta V}{V}$ と書け、音速が 1 % 増えると振動数も 1 % 増える。$V=331.5+0.6t$ を使えば「気温 1 ℃ 上昇 → 約 0.6 m/s 増 → 340 Hz の管なら約 0.6 Hz 上がる」と、温度計代わりの見積もりまでできる。