音速を超えると何が起こるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 音源が音速より速く動くと、自分が出した音を追い越してしまう。追い越された球面が次々に重なって、その包絡線として円錐ができる。

この円錐の形を決めるのは、$t$ 秒間に「音が広がる距離 $vt$」と「飛行機が進む距離 $Vt$」の比だけである。時間 $t$ は約分で消えるので、円錐の角は速さの比だけで決まる。

① 角の関係。 $t$ 秒前に出た音は、そのときの位置を中心とする半径 $vt$ の球面になっている。飛行機は現在その位置から $Vt$ だけ前方にいる。

この $2$ 点を結ぶ線分($Vt$)を斜辺、球面までの垂線($vt$)を対辺とする直角三角形ができる。

$$\sin \theta =\frac{vt}{Vt}=\frac{v}{V}$$

$t$ が消えるので、いつ出た音で考えても同じ角になる。だから球面はすべて同じ円錐に接する。

② マッハ $2$ のとき。

$$\sin \theta =\frac{1}{2}⟹\theta =30^{\circ }$$

③ 衝撃波が届く時刻。 飛行機が真上を通過した瞬間、円錐の面はまだ観測者に届いていない。円錐は飛行機の後方に開いているからである。

観測者に届くのは、飛行機がさらに $x$ だけ進み、円錐の面が観測者を通るときである。高度 $h$ とすると

$$\tan \theta =\frac{h}{x}⟹x=\frac{h}{\tan \theta }=\frac{3400}{0.577}\approx 5.89\times 10^3\mathrm{m}$$

$$t=\frac{x}{V}=\frac{5.89\times 10^3}{680}\approx 8.7\mathrm{s}$$

真上を通ってから約 $9$ 秒も後に、大きな音が届く。音が聞こえた方向を見上げても、飛行機はもうそこにいない。

④ 速さを変えると。 $V$ が音速に近づくと $\sin \theta \to 1$、つまり $\theta \to 90^{\circ }$ で、円錐は開ききって平面に近づく。すべての球面が同じ平面に接し、そこに音が集中する。

$V<v$ では、飛行機は自分の出した音に追い越されるので、球面が重なることはない。円錐はできず、衝撃波も生じない。

まとめ $\sin \theta =\frac{1}{M}$ という関係だけで、円錐の形も到達の時刻も決まる。$t$ が約分で消えることが、「すべての球面が同じ円錐に接する」ことの理由になっている。

発展 — 一歩先へ。 同じ形の現象は、水面を進む船の後ろにできる V 字の波でも見られる。ただし水面波では速さが波長で変わる(分散がある)ため、角度は速さによらず約 $19.5^{\circ }$ に決まる(ケルビン波)。

また、水中を光速に近い速さで走る荷電粒子は、水中の光速($\frac{c}{n}$)を超えるためチェレンコフ光という「光の衝撃波」を出す。原子炉が青く光るのはこの現象で、円錐の角度から粒子の速さが測れる。

「波源が波より速い」という $1$ つの条件が、音・水面・光でそれぞれ違う顔を見せる。

別解

ホイヘンスの作図で見るルート。 式を立てずに、作図だけで同じ結論に達することもできる。

飛行機の航路上に、等間隔の時刻の位置を打つ。それぞれの点から、経過時間に比例した半径の円を描く。いちばん古い点の円がいちばん大きく、新しい点ほど小さい。

これらの円に共通に接する直線(包絡線)を引くと、それが衝撃波の断面になる。

このとき、いちばん古い円の半径と、その中心から現在の飛行機までの距離の比が $\frac{v}{V}$ である。円が半径 $vt$、距離が $Vt$ で、どちらも $t$ に比例するので、どの円で見ても同じ比になる——だから $1$ 本の直線がすべての円に接する。

作図してみると、$V<v$ では新しい円が古い円の内側に入りきらず、共通接線が引けないことも目で分かる。式の $\sin \theta \le 1$ という条件が、図の上では「接線が引けるかどうか」として現れる。