弦の共振(速さと基本振動数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の共振は 2 つの独立な要素の掛け合わせである——速さ $v$(材質と張力で決まる)と波長 $\lambda$(両端=節という幾何で決まる)。それぞれを出して $f=v/\lambda$ で結ぶ。

① 速さ。

$$v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}=\sqrt{\frac{90}{1.0\times 10^{-3}}}=300m/s$$

② 基本振動。 両端が節で腹 1 個——弦の長さは半波長分だから

$${\lambda }_1=2L=1.0\mathrm{m},f_1=\frac{v}{{\lambda }_1}=\frac{300}{1.0}=300\mathrm{Hz}$$

③ 2 倍振動。 腹 2 個で ${\lambda }_2=L=0.50\mathrm{m}$:

$$f_2=\frac{300}{0.50}=600\mathrm{Hz}=2f_1$$

まとめ 弦の振動数は $f_n=\frac{nv}{2L}=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{S}{\rho }}$——基本振動数の整数倍しか鳴らない。ギターで音程を上げる 3 つの方法(短く押さえる $L\downarrow$・強く張る $S\uparrow$・細い弦 $\rho \downarrow$)が、この 1 本の式に全部入っている。

別解

「物差し」で波長を数えるルート。 定常波の節から節は $\frac{\lambda }{2}$。両端が節の弦に腹が $n$ 個入るとき、弦の長さは $\frac{\lambda }{2}\times n$ だから

$${\lambda }_n=\frac{2L}{n}$$

$n=1,2,3,\dots$ を入れれば全モードの波長が機械的に出る。「$\frac{\lambda }{2}$ の物差しを何本並べられるか」——気柱(閉管は $\frac{\lambda }{4}$ 始まり)でも同じ数え方が通用する。