太さの違う 2 本の弦をつなぐ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $2$ 本の弦の境目は、屈折の問題と同じ構造をしている。速さが変わる境目では、透過と反射が同時に起こる。

そして「何が連続か」を押さえることが要点である。つなぎ目の点は $1$ 点しかないので、そこが振動する回数は両側で同じでなければならない。つまり振動数が共通で、波長のほうが変わる。

反射の型は、相手の弦が「重くて動きにくい」か「軽くて動きやすい」かで決まる。極端な場合を思い浮かべると判断できる。

① 波の速さ。

$$v_1=\sqrt{\frac{40}{1.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{4.0\times 10^4}=200m/s$$

$$v_2=\sqrt{\frac{40}{4.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{1.0\times 10^4}=100m/s$$

線密度が $4$ 倍になると、速さは $\frac{1}{2}$ になる。

② 振動数と波長。 つなぎ目の点は $1$ 点で、両側の弦がそこでつながっている。その点が $1$ 秒間に振動する回数は、当然どちらから見ても同じである。

$$f=100\mathrm{Hz}(\text{変わらない})$$

波長は $\lambda =\frac{v}{f}$ だから

$${\lambda }_1=\frac{200}{100}=2.0\mathrm{m},{\lambda }_2=\frac{100}{100}=1.0\mathrm{m}$$

③ 細い弦から太い弦へ。 相手の太い弦は重いので動きにくい。極端に重くすれば、つなぎ目はほとんど動かなくなり、壁に固定したのと同じになる。

したがって固定端反射に近く、反射波の位相は反転する。

④ 太い弦から細い弦へ。 相手の細い弦は軽いので動きやすい。極端に軽くすれば、つなぎ目は自由に動けるので自由端に近い。

したがって自由端反射に近く、反射波の位相は反転しない。

まとめ 「振動数は連続、波長は変わる」「重い側は固定端、軽い側は自由端」の $2$ 点で、つなぎ目の問題は判断できる。極端な場合(相手が無限に重い/無限に軽い)を思い浮かべるのが、型を見分けるコツである。

発展 — 一歩先へ。 反射波と透過波の振幅は、速さを使って書ける。細い弦から太い弦へ向かう場合、入射波の振幅を $A$ とすると

$$(\text{反射波})=\frac{v_2-v_1}{v_1+v_2}A,(\text{透過波})=\frac{2v_2}{v_1+v_2}A$$

今回は $\frac{100-200}{300}A=-\frac{A}{3}$ と $\frac{200}{300}A=\frac{2A}{3}$ である。反射波の符号が負であることが、位相の反転を表している。

この式は、光が屈折率の違う媒質の境目で反射する場合や、電気信号がケーブルの継ぎ目で反射する場合とまったく同じ形をしている。伝送線路で「インピーダンス整合」が重要なのは、$v_1=v_2$ にあたる条件を満たして反射を消すためである。

別解

極端な場合から考えるルート。 ③ と ④ の判断は、極限を思い浮かべると迷わない。

太い弦の線密度を無限に大きくしていくと、$v_2\to 0$ である。この弦はまったく動かないので、つなぎ目は壁に釘づけされたのと同じになる。これは固定端そのものである。

逆に細い弦の線密度を $0$ に近づけると、$v_1\to \infty$ で、その弦は張力を伝えるだけの「軽い糸」になる。つなぎ目は自由に動けるので自由端である。

実際の弦はその中間なので、反射は「固定端寄り」「自由端寄り」になる。振幅の式 $\frac{v_2-v_1}{v_1+v_2}$ で確かめると、$v_2\to 0$ で $-1$(完全な固定端反射)、$v_2\to \infty$ で $+1$(完全な自由端反射)となり、極限とつじつまが合う。

「極端な場合を試して、連続的につなぐ」という手は、符号や向きの判断で迷ったときの強力な検算になる。