ドップラー効果はなぜ非対称か

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「近づく」という点では同じなのに、$2$ つの式は違う形をしている。この違いはどこから来るのか。

カギは「空気(媒質)が基準になっている」ことである。音は空気を伝わるので、音源と空気の関係、観測者と空気の関係がそれぞれ別に効く。

音源が動くと、空気中にできる波そのものが変形する(波長が縮む)。観測者が動いても、空気中の波は何も変わらない。変わるのは、その波を横切る速さである。

まったく別の理由で振動数が変わるのだから、式が違って当然である。

① 数値。

$$f_{\mathrm{A}}=f\frac{v}{v-u}=500\times \frac{340}{306}\approx 556\mathrm{Hz}$$

$$f_{\mathrm{B}}=f\frac{v+u}{v}=500\times \frac{374}{340}=550\mathrm{Hz}$$

$6\mathrm{Hz}$ ほど違う。

② 理由。 場合 A では、音源が波を追いかけながら出すので、前方の波が押し縮められる。空気中に実在する波長そのものが $\frac{v-u}{f}$ に縮む。観測者はその縮んだ波を、いつもの速さ $v$ で受け取る。

$$f_{\mathrm{A}}=\frac{v}{{\lambda }^{\prime }}=\frac{v}{(v-u)/f}=f\frac{v}{v-u}$$

場合 B では、空気中の波長は $\frac{v}{f}$ のままである。変わるのは観測者が波に対して動く速さで、$v+u$ になる。

$$f_{\mathrm{B}}=\frac{v+u}{\lambda }=\frac{v+u}{v/f}=f\frac{v+u}{v}$$

③ 小さい速さでの一致。 $x=\frac{u}{v}$ とおく。

$$f_{\mathrm{A}}=f\frac{1}{1-x}=f\left(1+x+x^2+\cdots \right),f_{\mathrm{B}}=f(1+x)$$

$x$ の $1$ 次までは同じである。差は

$$f_{\mathrm{A}}-f_{\mathrm{B}}\approx f{x}^2$$

$x=0.1$ なら $f\times 0.01=5\mathrm{Hz}$ で、① の $6\mathrm{Hz}$ とおおむね合う。日常の速さ($x$ が $0.1$ 以下)では、どちらの式を使っても大差ない。

④ 速い場合。

$$f_{\mathrm{A}}=500\times \frac{340}{170}=1000\mathrm{Hz},f_{\mathrm{B}}=500\times \frac{510}{340}=750\mathrm{Hz}$$

$2$ 倍と $1.5$ 倍で、はっきり違う。$u$ が $v$ に近づくと A は発散する(波長が $0$ に近づく)が、B は $2f$ に近づくだけである。

まとめ $2$ つの式が違うのは、音が媒質を伝わる波だからである。媒質という「基準」があるので、誰が動いているかが結果に効いてくる。

発展 — 一歩先へ。 光の場合はこうならない。光は媒質を必要としないので、「光源が動く」と「観測者が動く」を区別する意味がない。実際、相対論的なドップラー効果の式は

$$f^{\prime }=f\sqrt{\frac{1+\beta }{1-\beta }}\left(\beta =\frac{u}{c}\right)$$

で、相対速度だけで決まる対称な形をしている。

この式を展開すると $f(1+\beta +\frac{{\beta }^2}{2}+\cdots )$ で、音の $2$ つの式($1+x+x^2$ と $1+x$)のちょうど中間にあたる。

「媒質があるかないか」という違いが、式の非対称性として現れる。音のドップラー効果を丁寧に見ておくと、相対論で何が変わったのかがはっきりする。

別解

$1$ 秒間に何個の波を受け取るかで数えるルート。 $2$ つの式を、どちらも「数を数える」だけで出せる。

場合 A。音源は $1$ 秒間に $f$ 個の波を出す。そのあいだに音源は $u$ 進むので、$f$ 個の波は長さ $v-u$ の区間に詰めこまれる。$1$ 個あたりの長さは $\frac{v-u}{f}$ で、これが新しい波長である。観測者はこの波を速さ $v$ で受け取るので、$1$ 秒間に受け取る個数は $\frac{v}{(v-u)/f}$ である。

場合 B。空気中には波長 $\frac{v}{f}$ の波が並んでいる。観測者は $1$ 秒間に、音が進んでくる分 $v$ と自分が進む分 $u$ を合わせて、長さ $v+u$ の区間ぶんの波を横切る。個数は $\frac{v+u}{v/f}$ である。

どちらも「区間の長さ ÷ 波長」で数えているだけだが、A では波長が変わり、B では区間の長さが変わる。

この数え方なら、両方が同時に動く場合も迷わない。波長は $\frac{v-u_{\text{源}}}{f}$、横切る長さは $v+u_{\text{観}}$ なので

$$f^{\prime }=f\frac{v+u_{\text{観}}}{v-u_{\text{源}}}$$

分母と分子に別々の速度が入る理由も、この数え方なら納得できる。