定常波の式(重ね合わせの計算)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 逆向きの 2 つの波の和を和積の公式で「$x$ の因子 × $t$ の因子」に分離する。進行波の式は $t$ と $x$ が 1 つの位相に絡んでいたが、分離できたら波形はもう移動しない——それが定常波である。

① 和積で計算する。 $\alpha =2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$、$\beta =2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda }\right)$ とおくと

$$\frac{\alpha +\beta }{2}=\frac{2\pi t}{T},\frac{\alpha -\beta }{2}=-\frac{2\pi x}{\lambda }$$

$$y=2A\sin \frac{2\pi t}{T}\cos \left(-\frac{2\pi x}{\lambda }\right)=2A\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\sin \frac{2\pi t}{T}$$

② 読み取る。 各点 $x$ は、固定された振幅 $2A\left|\cos \frac{2\pi x}{\lambda }\right|$ で単振動するだけ——山が移動しない=定常波である。振幅が 0 になる場所(節)は

$$\cos \frac{2\pi x}{\lambda }=0⟹x=\frac{\lambda }{4}+\frac{n\lambda }{2}$$

節の間隔は $\frac{\lambda }{2}$、腹($x=\frac{n\lambda }{2}$、振幅 $2A$)はその中間。

まとめ 作図で学んだ定常波の性質——「節と腹が交互、間隔 $\frac{\lambda }{2}$、腹の振幅 $2A$」——が、和積の 1 行計算からすべて出てきた。「x と t の分離=進まない」という見方は、弦・気柱の振動を数式で扱う際の共通言語であり、大学の波動・量子力学(変数分離)まで一本道でつながっている。

別解

特別な瞬間で検算するルート。 $t=\frac{T}{4}$($\sin$ 因子が 1)に $y=2A\cos \frac{2\pi x}{\lambda }$——2 つの波の山がそろい波形は最大。$t=\frac{T}{2}$($\sin$ 因子が 0)には全点で同時に $y=0$——瞬間的に真っ平らになる。

進行波では決して起こらない「全点同時ゼロ」が起こるのは、エネルギーがすべて運動エネルギーに移っている瞬間である。式の因子が 0 になる瞬間の絵を描けることが、定常波を理解した証になる。