物理 / 波の伝わり方と音

弦を伝わる波の速さ

★ 基礎弦波の速さ

問題

線密度(1 m あたりの質量) $1.0 \times 1 0^{- 3} kg/m$ の弦を張力 $90 N$ で張った。この弦を伝わる波の速さ $v = \frac{S}{ρ}$ ( $S$ : 張力、 $ρ$ : 線密度)を求めよ。また、張力を 4 倍にすると速さは何倍になるか。

張った弦をパルスが伝わる。速さは張力と線密度で決まる

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根号の中の指数計算を落ち着いて——90÷10⁻³ は 9×10⁴。後半は、根号の中が 4 倍になったとき全体が何倍になるかという、ばね振り子でもやった √ の感覚。

解答・解説

方針

v=√(S/ρ)=√(9×10⁴)=300 m/s。v∝√S だから 4 倍で 2 倍。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の波の速さは「張り(戻す力)と重さ(慣性)の綱引き」で決まる——強く張るほど速く、重い弦ほど遅い。式 $v = S / ρ$ はその比の平方根である。

① 代入する。

$v = \frac{90}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 9.0 \times 1 0^{4} = 3.0 \times 1 0^{2} m/s$

② 張力 4 倍。 $v \propto S$ だから

$4 = 2 倍 (600 m/s)$

まとめ ギターの弦を強く張る(チューニングを上げる)と音が高くなるのは、 $v$ が増えて基本振動数 $f = \frac{v}{2 L}$ が上がるからである。「4 倍で 2 倍」というの効き方は、単振動( $T \propto m$ )や気体分子( $v \propto T$ )と同じ型——物理のあちこちに現れる平方根のものさしである。

答

$v = \frac{90}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 9.0 \times 1 0^{4} = 3.0 \times 1 0^{2} m/s$ 。張力 4 倍で速さ 2 倍

別解

次元で式の形を点検するルート。 $\frac{S}{ρ}$ の単位は $\frac{N}{kg/m} = \frac{kg \cdot m/ s ^{2} \cdot m}{kg} = m^{2} / s^{2}$ ——平方根で確かに速さになる。

張力と線密度から速さの次元を作る組み合わせは $S / ρ$ しかない。公式の形をど忘れしても、次元解析で「上下どちらに何が入るか」は復元できる(強く張れば速い、で向きも確定)。

ポイント

v=√(S/ρ)(張り vs 重さ)
S 4 倍で v 2 倍
ギターの調弦の物理

よくある間違い

ρ を掛けてしまう(割る)
10⁻³ の処理で桁を誤る
4 倍で 4 倍とする