弦を伝わる波の速さ

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 弦の波の速さは「張り(戻す力)と重さ(慣性)の綱引き」で決まる。強く張るほど速く、重い弦ほど遅い。式 $v=\sqrt{S/\rho }$ はその比の平方根である。

① 代入する。

$$v=\sqrt{\frac{90}{1.0\times 10^{-3}}}=\sqrt{9.0\times 10^4}=3.0\times 10^{2}m/s$$

② 張力 4 倍。 $v\propto \sqrt{S}$ だから

$$\sqrt{4}=2倍(600m/s)$$

まとめギターの弦を強く張る(チューニングを上げる)と音が高くなるのは、$v$ が増えて基本振動数 $f=\frac{v}{2L}$ が上がるからである。「4 倍で 2 倍」という ​ の変わり方は、単振動($T\propto \sqrt{m}$)や気体分子($v\propto \sqrt{T}$)と同じ型である。物理のあちこちに平方根の関係が現れる。

別解

次元で式の形を点検するルート。 $\frac{S}{\rho }$ の単位は $\frac{\mathrm{N}}{kg/m}=\frac{\mathrm{kg}\cdot m/{\mathrm{s}}^2\cdot \mathrm{m}}{\mathrm{kg}}={\mathrm{m}}^2/{\mathrm{s}}^2$ で、平方根をとると確かに速さになる。

張力と線密度から速さの次元を作る組み合わせは $\sqrt{S/\rho }$ しかない。公式の形をど忘れしても、次元解析で「上下どちらに何が入るか」は復元できる(強く張れば速い、で向きも確定)。