物理 / 波の伝わり方と音

ドップラー効果(両方が動く)

★★ 標準ドップラー効果

問題

振動数 $600 Hz$ のサイレンを鳴らす消防車が速さ $20 m/s$ で走り、その正面から観測者が速さ $20 m/s$ で近づいている。観測者が聞く振動数を求めよ。音速を $340 m/s$ とする。

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音源が動く効果(波長が縮む)と観測者が動く効果(多く受け取る)は独立に起こる。それぞれを分母・分子のどちらに置くかを考える。基礎の 2 問を合体させればよい。

解答・解説

方針

音源の効果(分母 V−vs)と観測者の効果(分子 V+vo)を同時に。360/320=9/8 で 675 Hz。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 音源の効果と観測者の効果は独立だから、2 つの式を合体できる。置き場所は「観測者は上(分子)、音源は下(分母)」、符号は「近づくなら高くなる向き」で決める。

公式ドップラー効果の一般形:

f^{'} = \frac{V + v _{o}}{V - v _{s}} f

(どちらも近づく向きを正)

① 代入する。

$f^{'} = \frac{340 + 20}{340 - 20} \times 600 = \frac{360}{320} \times 600 = \frac{9}{8} \times 600 = 675 Hz$

② 見通しと照合。 双方が近づくのだから、どちらか一方だけの場合より高いはずである。音源だけなら $637.5$ 、観測者だけなら $635.3$ 、両方で $675$ 。

まとめ符号の暗記に頼らず、毎回「近づく=高い」で分子分母の $\pm$ を決めるのがミスを防ぐ要である。極端な場合で確かめるのも有効である。 $v_{o} = v_{s}$ でも効果は打ち消し合わない( $\frac{360}{320} \neq = 1$ )。「同じ速さなら相殺」という直感は誤りで、音源と観測者の効果はメカニズムが違うから非対称である。

答

$f^{'} = \frac{V + v _{o}}{V - v _{s}} f = \frac{360}{320} \times 600 = 675 Hz$

別解

2 段階に分けて確かめるルート。 まず音源の効果だけ: 前方の波長 $λ^{'} = \frac{320}{600} = \frac{8}{15} m$ 。次に、この波の中へ観測者が突っ込む: 波との相対速度 $340 + 20 = 360 m/s$ で

$f^{'} = \frac{360}{8/15} = 675 Hz$

波長は音源が決め、受け取り率は観測者が決める。一般公式の分子・分母はこの 2 段階にそのまま対応している。

ポイント

観測者は分子、音源は分母
符号は「近づく=高い」で毎回決める
同速でも相殺しない(非対称)

よくある間違い

分子と分母の役を逆にする
同じ速さだから 600 Hz のままとする
相対速度 40 でどちらか一方の式だけ使う