ドップラー効果(両方が動く)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 音源の効果と観測者の効果は独立だから、2 つの式を合体できる。置き場所は「観測者は上(分子)、音源は下(分母)」、符号は「近づくなら高くなる向き」で決める。

① 代入する。

$$f^{\prime }=\frac{340+20}{340-20}\times 600=\frac{360}{320}\times 600=\frac{9}{8}\times 600=675\mathrm{Hz}$$

② 見通しと照合。 双方が近づくのだから、どちらか一方だけの場合より高いはず——音源だけなら $637.5$、観測者だけなら $635.3$、両方で $675$ ✓。

まとめ 符号の暗記に頼らず、毎回「近づく=高い」で分子分母の $\pm$ を決めるのが事故防止の要である。極端チェックも有効——$v_o=v_s$ でも効果は打ち消し合わない($\frac{360}{320}\ne 1$)。「同じ速さなら相殺」という直感は誤りで、音源と観測者の効果はメカニズムが違うから非対称なのである。

別解

2 段階に分けて確かめるルート。 まず音源の効果だけ: 前方の波長 ${\lambda }^{\prime }=\frac{320}{600}=\frac{8}{15}\mathrm{m}$。次に、この波の中へ観測者が突っ込む: 波との相対速度 $340+20=360m/s$ で

$$f^{\prime }=\frac{360}{8/15}=675\mathrm{Hz}$$

「波長は音源が決め、受け取り率は観測者が決める」——一般公式の分子・分母の由来が、この 2 段階にそのまま対応している。