水面波の干渉(総合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 干渉の 3 点セット——本数は不等式、判定は割り算、変化は不等式の再読。すべて経路差 1 本の式から出る。

① 腹線の本数。 経路差の上限は $S_1{S}_2=2.0\mathrm{m}$。$|m|\lambda \le 2.0$ より

$$|m|\le \frac{2.0}{0.50}=4⟹m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4の9本$$

($m=\pm 4$ は $S_1{S}_2$ の外側の延長線上の直線。)

② P の判定。

$$|2.25-1.75|=0.50\mathrm{m}=1\times \lambda ⟹強め合う(m=1の腹線上)$$

③ 波長を長くすると。 条件 $|m|\le \frac{d}{\lambda }$ の右辺が小さくなるから、成立する $m$ が減る——腹線は本数を減らしながら間隔を広げていく($\lambda >2.0\mathrm{m}$ になると $m=0$ の中央線だけが残る)。

まとめ 「$\frac{d}{\lambda }$ が模様の細かさを決める」——波長が短い(振動数が高い)ほど縞は細かく本数が多い。これは光の干渉(ヤングの実験)で「赤より青の縞が細かい」ことにそのままつながる。数える・判定する・動かす、の 3 操作を 1 つの不等式で自在にできれば、干渉の計算は完成である。

別解

線分上の定常波で (1)(3) を見るルート。 線分 $S_1{S}_2$ 上には定常波ができ、腹の間隔は $\frac{\lambda }{2}=0.25\mathrm{m}$。中点は経路差 0 の腹で、長さ 2.0 m の線分に腹は中点±0.25 m 刻み——$2.0/0.25=8$ 区間で腹 9 個=腹線 9 本 ✓。

波長を長くすると腹の間隔 $\frac{\lambda }{2}$ が広がり、線分に入る腹の個数が減る——(3) の結論が「物差しの目盛りが粗くなる」絵で直感できる。