円運動する音源のドップラー効果

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 円運動+ドップラーは、斜めドップラー「視線成分だけが効く」の応用である。円周上を回る間に視線成分は $-20\sim +20m/s$ の間で振動する——その両端と 0 の位置を幾何で特定する。

① 最大・最小の振動数。 視線成分が $+20$(全速で近づく)のとき

$$f_{max}=720\times \frac{340}{340-20}=720\times \frac{17}{16}=765\mathrm{Hz}$$

$-20$(全速で遠ざかる)のとき

$$f_{min}=720\times \frac{340}{340+20}=720\times \frac{17}{18}=680\mathrm{Hz}$$

② その位置。 速度は常に円の接線方向。遠方の観測者から円へ引いた 2 本の接線の接点で、速度がちょうど視線に重なる——手前へ向かう側の接点で最大、逆の接点で最小の音が出る。

③ 中心の観測者。 中心へ向かう視線は常に半径方向で、速度(接線方向)と常に垂直。視線成分は永久に 0:

$$720\mathrm{Hz}のまま(一定)$$

まとめ 遠方の観測者にはサイレンが $680\sim 765\mathrm{Hz}$ の間を周期的にうねって聞こえ、中心では澄んだ一定音——同じ音源でも聞く場所で全く違う。回転体からの波の周波数変調は、連星の視線速度の測定(ドップラー分光)で恒星の質量を量る方法そのものであり、この問題は天文学の測定原理の縮図である。

別解

成分のグラフで全体像を見るルート。 円運動の角度を $\theta$ とすると、遠方の観測者への視線成分は $20\cos \theta$ ——正弦波状に振動する。聞こえる振動数も

$$f^{\prime }(\theta )=\frac{340}{340-20\cos \theta }\times 720$$

と周期的にうねる(±20 の両端で 765/680)。「振動数の時間変化のグラフ」を思い描くと、(1)(2) が 1 枚の絵にまとまる——通過型(直線)の段差グラフと対で覚えたい。