物理 / 波の伝わり方と音

ドップラー効果の式の導出(音源が動く)

★★★ 応用ドップラー効果導出

問題

振動数 $f$ の音源が、速さ $v_{s}$ で静止した観測者へ向かって動いている。音速を $V$ とする。(1) 音源の前方にできる波の波長 $λ^{'}$ を求めよ。 (2) 観測者が聞く振動数 $f^{'}$ を求めよ。 (3) $f = 640 Hz$ 、 $v_{s} = 20 m/s$ 、 $V = 340 m/s$ で値を確かめよ。

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「1 秒間ドラマ」を描く——1 秒後、最初に出た波面はどこにいるか、音源はどこにいるか、その間に何個の波が入っているか。3 つの答えがそのまま波長の式になる。

解答・解説

方針

1 秒間に音源は f 個の波を出しつつ vs 前進。最初の波面は V 先、音源は vs 進んでいるから、f 個の波が V−vs の区間に詰まる。λ'=(V−vs)/f。観測者は V/λ'。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ドップラーの式は「1 秒間ドラマ」の絵 1 枚で導ける。1 秒のあいだに出た波がどの区間に詰め込まれるかを数えるだけである。

① 前方の波長。 1 秒間に:

最初に出た波面は $V$ [m] 先まで進む
音源自身は $v_{s}$ [m] 前進する
その間に音源は $f$ 個の波を出す

よって $f$ 個の波が長さ $V - v_{s}$ の区間に詰まっている:

$λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$

② 聞く振動数。 観測者は静止しており、この詰まった波が音速 $V$ で通過していく:

$f^{'} = \frac{V}{λ ^{'}} = \frac{V}{V - v _{s}} f$

③ 数値検算。

$λ^{'} = \frac{340 - 20}{640} = \frac{320}{640} = 0.50 m, f^{'} = \frac{340}{0.50} = 680 Hz$

1 秒間に出た f 個の波が、長さ V−vs の区間に詰まる

まとめ 導出の核心は「音速は音源の速さによらない」こと——波は媒質(空気)のものだから、出た瞬間に音源の事情と切り離される。だから波面は置き去りにされ、後から出た波が追いついて詰まる。この 1 枚の絵が描ければ、後方の波長( $V + v_{s}$ 区間に $f$ 個)も、観測者が動く場合も、すべて同じ流儀で導ける。

答

(1) $λ^{'} = \frac{V - v _{s}}{f}$ (2) $f^{'} = \frac{V}{λ ^{'}} = \frac{V}{V - v _{s}} f$ (3) $λ^{'} = 0.50 m$ 、 $f^{'} = 680 Hz$

別解

周期で刻むルート。 波 1 個分の時間 $T = \frac{1}{f}$ の間に、波面は $V T$ 進み、音源は $v_{s} T$ 追いかける。次の波面はその差の位置から出るので、波面の間隔は

$λ^{'} = V T - v_{s} T = (V - v_{s}) T = \frac{V - v _{s}}{f}$

「1 秒間に $f$ 個」を「 $T$ 秒に 1 個」に言い換えただけだが、山を 1 個ずつ追うぶん、詰まる理由がより生々しく見える。

ポイント

1 秒間ドラマ: f 個が V−vs に詰まる
音速は音源の速さによらない
後方・観測者移動も同じ絵で

よくある間違い

波面も音源と一緒に加速すると考える
λ' の分母に V を使う
観測者側の受け取りに V−vs を使う