物理 / 波の伝わり方と音

波の屈折と振動数

★ 基礎屈折

問題

波が媒質 1 から媒質 2 へ進むとき、波長が $0.80 m$ から $0.60 m$ に変わった。媒質 1 での波の速さを $340 m/s$ とする。(1) 振動数は変わるか。媒質 1 での振動数を求めよ。 (2) 媒質 2 での波の速さ (3) 媒質 1 に対する媒質 2 の屈折率 $n_{12}$ を求めよ。

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境界を通るとき、波は 1 個入ったら 1 個出ていく——1 秒あたりに通る波の個数は変わりようがない。変わらない量が決まれば、v=fλ で残りの量の変化が全部つながる。

解答・解説

方針

境界で波は 1 個ずつ受け渡される→f 不変が屈折の背骨。v=fλ で v2=255。n12=v1/v2=λ1/λ2=4/3。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 屈折の議論の背骨は「振動数は変わらない」である。境界面では波が 1 個ずつ受け渡されるので、1 秒に通過する波の個数( $f$ )は媒質が変わっても同じ——変わるのは速さと波長のペアである。

① 振動数。 変わらない。媒質 1 で

$f = \frac{v _{1}}{λ _{1}} = \frac{340}{0.80} = 425 Hz$

② 媒質 2 の速さ。 同じ $f$ で

$v_{2} = f λ_{2} = 425 \times 0.60 = 255 m/s$

③ 屈折率。

公式屈折の法則:

n_{12} = \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{λ _{1}}{λ _{2}}

(振動数は共通)

$n_{12} = \frac{0.80}{0.60} = \frac{4}{3}$

遅い媒質では波面の間隔(波長)が詰まる。個数は不変

まとめ 「 $f$ 不変、 $v$ と $λ$ が同じ比率で変わる」——遅い媒質へ入ると波長が縮む(波が詰まる)。色(振動数)は水中でも変わらないのに、波長は縮んでいる——光の屈折でもまったく同じ論理が使われる。

答

(1) 変わらない。 $f = 340/0.80 = 425 Hz$ (2) $v_{2} = f λ_{2} = 425 \times 0.60 = 255 m/s$ (3) $n_{12} = \frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{λ _{1}}{λ _{2}} = \frac{4}{3}$

別解

行進の列のたとえで納得するルート。 波の列を行進する隊列と見る。境界=ぬかるみの入り口で歩く速さが落ちるが、1 秒に入り口を通る人数(振動数)は変わらない。すると前の人との間隔(波長)が自動的に詰まる。

速さ 3/4 倍 → 間隔も 3/4 倍( $0.80 \to 0.60$ )——「振動数が同じだから、速さと波長は運命共同体」という比例関係が体で分かるたとえである。

ポイント

境界で f は不変(受け渡し)
v と λ は同じ比率で変わる
n12=v1/v2=λ1/λ2

よくある間違い

振動数も変わるとする
n12 を v2/v1 と逆に書く
波長の比と速さの比を別々の値にする