どこをはじくかで音色が変わる

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 弦の音は $1$ つの振動数ではなく、基本振動と倍振動が混ざったものである。その混ざり方が音色になる。

はじくという操作は、弦に「その点が大きく動く」という初期の形を与えることである。もしある倍振動にとってその点が節なら、その振動は初期の形に含まれない。

だから「はじいた点が節になる倍音は出ない」。あとは節の位置を数えるだけの問題になる。

① 振動数。

$$f_1=\frac{300}{2\times 0.60}=250\mathrm{Hz}$$

$$f_2=500\mathrm{Hz},f_3=750\mathrm{Hz}$$

② 中央をはじく場合。 $n$ 倍振動の節は、両端を含めて弦を $n$ 等分する位置にある。中央 $\frac{L}{2}$ が節になるのは、$\frac{L}{2}=\frac{kL}{n}$ を満たす整数 $k$ があるとき、つまり $n$ が偶数のときである。

したがって $2,4,6,8$ 倍振動は励起されない。残るのは $1,3,5,7$ 倍振動、つまり奇数倍音だけである。

③ $\frac{L}{3}$ をはじく場合。 $\frac{L}{3}=\frac{kL}{n}$ となるのは $n$ が $3$ の倍数のときである。

よって $3,6$ 倍振動が消え、$1,2,4,5,7,8$ が残る。

④ 音色の違い。 弦の端に近いところをはじくと、そこが節になる倍音は「$n$ が非常に大きいもの」に限られる。低い次数の倍音はどれも節にならないので、高い倍音まで幅広く含まれる。高い成分が多い音は、硬く明るく聞こえる。

逆に中央付近をはじくと、偶数倍音がごっそり抜け、含まれる倍音の種類が減る。低い成分が中心の、柔らかくまるい音になる。

ギターで弾く位置を変えると音色が変わるのは、まさにこの理由による。

まとめ 「はじいた点が節になる倍音は出ない」という $1$ つの規則から、音色の違いが説明できる。節の位置は弦を $n$ 等分する点なので、はじく位置と $n$ の約数関係で決まる。

発展 — 一歩先へ。 ピアノでは、ハンマーが弦を打つ位置が弦の端から $\frac{1}{7}$ から $\frac{1}{9}$ ほどのところに設計されている。

これは $7$ 倍音・$9$ 倍音あたりを抑えるためである。$7$ 倍音は基本音に対して音楽的に濁って聞こえる音程(自然七度)にあたるので、それを弱めると澄んだ響きになる。

物理の「節の位置」の話が、楽器の設計という形で音楽に直結している例である。

別解

波形の分解として見るルート。 「節ならば出ない」を、初期の形の分解として理解しておくと確かである。

はじいた直後の弦の形は、はじいた点を頂点とする三角形である。この形は、基本振動・$2$ 倍振動・… の形を適当な重みで足し合わせたものとして書ける(フーリエ級数)。

各倍振動の重みは、三角形の形とその倍振動の形との「重なり具合」で決まる。

中央をはじいた三角形は、中央について左右対称である。一方、偶数倍振動の形は中央について反対称(左右で符号が逆)である。対称な形と反対称な形の重なりは打ち消し合って $0$ になる。

だから偶数倍音の重みは $0$、つまり励起されない。

この見方だと、「節だから出ない」という言い方が「対称性が合わないから重なりが $0$」というより一般的な言葉に翻訳される。同じ論法は、量子力学で遷移が起きるかどうかを判定するときにも使われる。