物理 / 波の伝わり方と音

固定端反射による定常波

★★ 標準定常波固定端

問題

波長 $0.80 m$ の正弦波が壁(固定端)に垂直に入射し、反射波と重なって定常波ができた。壁を原点として、(1) 節の位置 (2) 腹の位置を壁からの距離で表せ(いくつか挙げよ)。

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固定端が節になることを出発点にする。あとは「節と節の間隔は半波長」「腹は節と節のちょうど中間」という定常波の骨格だけで、すべての位置が決まる。

解答・解説

固定端は必ず節。節は λ/2=0.40 m 間隔で並び、腹はその中間(壁から λ/4=0.20 m が最初)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 定常波の設計図は 2 行で書ける——「固定端=節」と「節の間隔= $\frac{λ}{2}$ 」。この 2 つから全部の位置が芋づる式に決まる。

① 節の位置。 壁(固定端)は変位できないから節。以後 $\frac{λ}{2} = 0.40 m$ ごとに

$x = 0, 0.40, 0.80, 1.2 m, \dots (x = \frac{nλ}{2})$

② 腹の位置。 節と節の中間、最初は壁から $\frac{λ}{4} = 0.20 m$ :

$x = 0.20, 0.60, 1.0 m, \dots$

壁(固定端)が節。節は 0.40 m 間隔、腹はその中間

まとめ もし壁が自由端なら、端が腹になって節と腹の位置がそっくり入れ替わる。「端の種類が節か腹かを決め、 $\frac{λ}{4}$ 刻みの物差しを当てる」——弦(両端=節)や気柱(閉端=節・開端=腹)の共鳴条件は、すべてこの物差しの当てはめである。

答

(1) 節: $x = 0, 0.40, 0.80, 1.2 m, \dots$ ( $\frac{λ}{2}$ 間隔) (2) 腹: $x = 0.20, 0.60, 1.0 m, \dots$

式の重ね合わせで確かめるルート(発展)。 入射波 $y_{1} = A sin 2 π (t / T + x / λ)$ (壁 $x = 0$ へ $- x$ 向き)と、固定端反射波 $y_{2} = - A sin 2 π (t / T - x / λ)$ を足すと、三角関数の和積公式で

$y = y_{1} + y_{2} = 2 A sin \frac{2 π x}{λ} cos \frac{2 π t}{T}$

振幅が場所ごとに $2 A sin \frac{2 π x}{λ}$ ——0 になる $x = \frac{nλ}{2}$ が節、最大になる中間が腹。作図の結論が、数式でもぴったり裏づけられる。