風があるときのドップラー効果

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 風の効果はただ 1 つ——音速の置き換えである。音は空気に対して $340m/s$ で進むから、空気ごと $w=20m/s$ で流れていれば、地面から見た音速は $V+w=360m/s$(風下向き)。あとは通常のドップラーで、式の $V$ をすべて $V+w$ に差し替える。

① 置き換えて計算する。

$$f^{\prime }=\frac{V+w}{(V+w)-v_s}f=\frac{360}{360-20}\times 680=\frac{360}{340}\times 680=720\mathrm{Hz}$$

② 無風と比較する。 無風なら

$$f^{\prime }=\frac{340}{320}\times 680=722.5\mathrm{Hz}$$

追い風なのに、聞こえる音はわずかに低くなる($722.5\to 720$)。

まとめ 意外な結果の理由——追い風は波を運ぶのを助けるが、同時に前方の波長も引き伸ばす。分子・分母の両方が大きくなり、比 $\frac{V+w}{V+w-v_s}$ は $w$ が増えるほど 1 に近づく(風が音源の動きを「薄める」)。「風で音が高くなる」という素朴な直感は誤り——風は音を届きやすくするが、高さはむしろ変えない方向にはたらく。

別解

風に乗った立場で見るルート。 空気と一緒に流れる観測者(気球に乗った人)から見れば、風はなく普通のドップラー——ただし音源は $v_s-w=0m/s$……ではない。音源の対気速度は $20-20=0$?——いや、音源は地面に対して 20、風と同じ向き・同じ速さだから空気に対しては静止している。空気の立場では音源静止・観測者が風上へ $w=20$ で動く:

$$f^{\prime }=\frac{V+w}{V}\times 680=\frac{360}{340}\times 680=720\mathrm{Hz}✓$$

同じ答えに別の道から着く。「誰から見るか」を空気に固定すると、風の問題はすべて無風の問題に翻訳できる——相対速度の考え方の好例である。