動く反射板とうなり

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 反射板の問題は「受けて、返す」の 2 幕に割る。受けるときの反射板は動く観測者、返すときは(受けた振動数で鳴く)動く音源——1 枚の板が 2 つの役を順に演じる。

① 第 1 幕: 板が受ける。 動く観測者(近づく)として

$$f_1=680\times \frac{340+20}{340}=680\times \frac{360}{340}=720\mathrm{Hz}$$

② 第 2 幕: 板が返す。 振動数 $720\mathrm{Hz}$ の動く音源(近づく)として

$$f_2=720\times \frac{340}{340-20}=720\times \frac{340}{320}=765\mathrm{Hz}$$

③ うなり。 観測者には直接音 $680$ と反射音 $765$ が同時に届く:

$$765-680=85回/秒$$

まとめ 「受け=観測者(分子)、返し=音源(分母)」の 2 段構えは、反射板・壁・崖のドップラー問題の万能フォームである。この原理はそのままスピード測定器になっている——野球のスピードガンや自動車の速度取締装置は、電波を投げてボールや車に「反射させ」、戻ってきた周波数のずれから速さを逆算している。

別解

まとめて 1 本の式にするルート。 2 幕を合成すると

$$f_2=f\times \frac{V+v}{V}\times \frac{V}{V-v}=f\frac{V+v}{V-v}=680\times \frac{360}{320}=765\mathrm{Hz}$$

中間の $V$ が約分され、「動く反射板は $\frac{V+v}{V-v}$ 倍」という 1 行の公式になる。2 段の理屈を理解した上でなら、この短縮形は検算・時短に便利である。