津波はなぜ速く、なぜ岸で高くなるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 津波が「速い」ことと「岸で高くなる」ことは、どちらも $v=\sqrt{gh}$ という $1$ つの式から出てくる。

外洋では水深が大きいので速い。岸に近づくと水深が小さくなり、速さが落ちる。

そして波源で決まった周期は変わらない。速さが落ちて周期が同じなら、波長が縮む。波長が縮めば、同じエネルギーが狭い範囲に押しこめられ、波高が上がる。

① 外洋での速さ。

$$v=\sqrt{9.8\times 4000}=\sqrt{3.92\times 10^4}\approx 2.0\times 10^{2}m/s$$

$$2.0\times 10^2\times 3.6\approx 7.1\times 10^{2}km/h$$

ジェット旅客機とほぼ同じ速さである。

② 沿岸での速さ。

$$v=\sqrt{9.8\times 10}=\sqrt{98}\approx 9.9m/s\approx 36km/h$$

水深が $\frac{1}{400}$ になると、速さは $\frac{1}{20}$ になる。

③ 横断時間。

$$t=\frac{8.0\times 10^6}{2.0\times 10^2}=4.0\times 10^4\mathrm{s}\approx 11\text{時間}$$

地球の裏側で起きた地震の津波が半日ほどで到達する、という現実と合う。

④ 波長と波高。 周期 $T=600\mathrm{s}$ は波源で決まり、伝わる途中で変わらない。

$$\lambda =vT$$

外洋では $2.0\times 10^2\times 600=1.2\times 10^5\mathrm{m}=1.2\times 10^2\mathrm{km}$。

沿岸では $9.9\times 600\approx 5.9\times 10^3\mathrm{m}=5.9\mathrm{km}$。

波長が $\frac{1}{20}$ に縮む。津波が運ぶエネルギーは、伝わる途中でほとんど失われない。同じエネルギーが $\frac{1}{20}$ の長さに詰めこまれるので、波の高さが上がる。

外洋では高さ $1\mathrm{m}$ 程度でも(波長が $100\mathrm{km}$ もあるので船の上では気づかない)、沿岸で数 m から $10\mathrm{m}$ を超える高さになるのはこのためである。

まとめ $v=\sqrt{gh}$ から、速さも波長も水深で決まる。「外洋では速くて低い、沿岸では遅くて高い」という津波の性質は、この $1$ 本の式の帰結である。

発展 — 一歩先へ。 速さが場所で変わるということは、屈折も起きるということである。

海底が浅くなっている場所(岬の沖など)では波が遅くなるので、波面がそちらへ向きを変える。その結果、津波のエネルギーは岬に集まりやすい。逆に湾の奥では、地形による反射と重なり合いで局所的に非常に高くなることがある。

「速さが場所で変わる媒質では波が曲がる」という原理は、光の屈折・音の屈折とまったく同じである。同じ数学が、レンズの設計から津波の防災までを貫いている。

別解

エネルギーの流れで波高を出すルート。 ④ の「高くなる」を、もう少し定量的に見ることもできる。

単位長さの海岸線あたり、波が運ぶエネルギーの流れ(仕事率)は、波高 $H$ と速さ $v$ を使って

$$P\propto H^{2}v$$

と書ける。エネルギーが失われないなら $P$ は一定だから

$$H^{2}v=(\text{一定})⟹H\propto \frac{1}{\sqrt{v}}\propto \frac{1}{h^{1/4}}$$

水深が $\frac{1}{400}$ になると、$H$ は $400^{1/4}=4.5$ 倍になる。外洋で $1\mathrm{m}$ なら沿岸で $4.5\mathrm{m}$ という見積もりが立つ。

これはグリーンの法則とよばれる。実際にはさらに地形による集中や反射が加わるので、もっと高くなることもある。

「エネルギーの流れが一定」という条件から振幅の変化を出す手は、音波が細い管に入るときや、光が集光されるときにも同じように使える。