干渉の腹線の本数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 腹線は経路差 $=m\lambda$ の点の集まり(双曲線)で、$m$ 1 つに 1 本。問題は「$m$ は何番まで存在できるか」——鍵は経路差の上限である。

① 経路差の上限。 どんな点 P でも、三角形の成立条件から

$$|d_1-d_2|\le S_1{S}_2=d=3\lambda$$

(等号は $S_1{S}_2$ の外側の延長線上。)

② 本数を数える。 $|m\lambda |\le 3\lambda$ より

$$m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3⟹7本$$

$m=0$ は垂直二等分線(直線)、$m=\pm 3$ は延長線上の直線に退化した「双曲線」である。

まとめ 数え方の骨格は「上限 $d$ の中に $\lambda$ の目盛りが何個か」。$d=3.5\lambda$ なら $m=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3$ で変わらず 7 本だが、弱め合いの節線は $\pm 0.5,\pm 1.5,\pm 2.5,\pm 3.5$……端の扱い($=d$ をちょうど達成できるか)に注意して、毎回不等式で数えるのが安全である。

別解

線分 S₁S₂ 上で数えるルート。 すべての腹線は必ず線分 $S_1{S}_2$ を横切る(双曲線の性質)。線分上では 2 波が逆向きに走って定常波ができ、腹の間隔は $\frac{\lambda }{2}$。長さ $3\lambda$ の線分に、中点(経路差 0=腹)から $\frac{\lambda }{2}$ おきに腹を並べると、中点+左右 3 個ずつ=7 個——腹線の本数と一致する。

「線分上の定常波の腹の個数=腹線の本数」——2 次元の数え上げを 1 次元に落とす、見通しのよい別ルートである。