ドップラー効果(音源が近づく)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 音源が近づくと、前方では波が詰められて波長が縮む——だから高く聞こえる。式を書く前に「答えは 640 より大きい」と見通しを立てておく(符号ミスの防波堤)。

① 代入する。

$$f^{\prime }=\frac{340}{340-20}\times 640=\frac{340}{320}\times 640=\frac{17}{16}\times 640=680\mathrm{Hz}$$

② 見通しと照合。 $680>640$ ✓——確かに高い。

まとめ 音源のドップラーの本質は「波長が変わる」こと(${\lambda }^{\prime }=\frac{V-v_s}{f}$、詳しい導出は応用)。救急車が目の前を通過する瞬間に音がスッと下がるのは、この式の分母が $V-v_s$ から $V+v_s$ に切り替わるからである。「近づく=高い、遠ざかる=低い」の物理感覚を式より先に——分母分子の暗記が飛んでも、感覚から符号を再建できる。

別解

波長で 2 段に分けて出すルート。 (1) 前方の波長: 1 秒に音源は $640$ 個の波を出しつつ $20\mathrm{m}$ 前進するので、$340-20=320\mathrm{m}$ の中に $640$ 個が詰まる:

$${\lambda }^{\prime }=\frac{320}{640}=0.50\mathrm{m}$$

(2) 観測者はこの波を音速 $340m/s$ で受け取る:

$$f^{\prime }=\frac{V}{{\lambda }^{\prime }}=\frac{340}{0.50}=680\mathrm{Hz}$$

公式 1 発と同じ答え。この「波長経由」の 2 段が、実はドップラー効果の導出そのものである。