物理 / 波の伝わり方と音

ホイヘンスの原理と屈折の法則

★★ 標準ホイヘンスの原理屈折

問題

ホイヘンスの原理を用いて、波が速さ $v_{1}$ の媒質から速さ $v_{2}$ の媒質へ入射するとき、屈折の法則

$\frac{sin θ _{1}}{sin θ _{2}} = \frac{v _{1}}{v _{2}}$

が成り立つことを説明せよ。ここで $θ_{1}, θ_{2}$ は入射角・屈折角である。

波面 AB が斜めに入射。A が先に境界へ着く

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波面の両端の「時間差」に注目する。先に境界へ着いた端からは素元波(半円)が広がり始め、遅れて着く端はまだ媒質 1 を走っている。同じ時間 t の 2 つの移動距離を、共通の斜辺を持つ 2 つの直角三角形に描き込もう。

解答・解説

方針

波面 AB の A が先に境界へ。同じ時間 t に、媒質 1 側では B が v₁t 進んで B' へ、媒質 2 側では A からの素元波が半径 v₂t に成長。共通の斜辺 AB' で sin を書くと比が出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ホイヘンスの原理——「波面の各点が素元波(小さな球面波)の源になり、その共通接面が次の波面になる」——を、境界をまたぐ波面に適用する。鍵は、波面の両端が境界に時間差で到着することである。

① 設定。 波面 $A B$ が斜めに入射し、端 $A$ が先に境界に達した。もう一方の端 $B$ が境界上の点 $B^{'}$ に達するまでの時間を $t$ とする。

② 2 つの距離を書く。

媒質 1 側: $B$ は $B B^{'} = v_{1} t$ 進む。直角三角形 $A B B^{'}$ で $sin θ_{1} = \frac{v _{1} t}{A B ^{'}}$
媒質 2 側: その間に $A$ から出た素元波は半径 $v_{2} t$ に成長。新しい波面は $B^{'}$ からこの素元波に引いた接線で、 $sin θ_{2} = \frac{v _{2} t}{A B ^{'}}$

③ 共通の斜辺 $A B^{'}$ で割り算する。

$\frac{sin θ _{1}}{sin θ _{2}} = \frac{v _{1} t / A B ^{'}}{v _{2} t / A B ^{'}} = \frac{v _{1}}{v _{2}}$

同じ時間 t: B は v₁t 進み、A の素元波は半径 v₂t。共通の斜辺 AB'

まとめ 屈折の法則は「同じ持ち時間 $t$ で走れる距離の違い」を、共通の斜辺 $A B^{'}$ が仲立ちして角度の比に翻訳したものである。ホイヘンスの原理は反射の法則(入射角=反射角)も同じ作図で導ける——「原理 1 つから法則 2 つ」を自分の手で描けるようにしておくと、論述問題で強い。

答

波面の端 A が境界に達してから他端 B が境界(B')に達するまでの時間 t で、AB'=v₁t/sinθ₁=v₂t/sinθ₂ の共通の斜辺を 2 通りに表すと sinθ₁/sinθ₂=v₁/v₂

別解

波面の間隔(波長)で見るルート。 境界に沿った波面の間隔を $d$ とすると、媒質 1 の波長は $λ_{1} = d sin θ_{1}$ 、媒質 2 では $λ_{2} = d sin θ_{2}$ (同じ $d$ への射影)。振動数共通で $λ \propto v$ だから

$\frac{sin θ _{1}}{sin θ _{2}} = \frac{λ _{1}}{λ _{2}} = \frac{v _{1}}{v _{2}}$

素元波を描かず、波面の幾何だけで同じ結論に達する。2 つの導出が一致することが、法則の頑健さの証明である。

ポイント

素元波の共通接面=次の波面
共通の斜辺 AB' で 2 つの sin を書く
同じ原理で反射の法則も出る

よくある間違い

素元波の半径を v₁t としてしまう
sin を書く直角三角形を取り違える
θ を波面と境界の角でなく法線との角と混同する