物理 / 波の伝わり方と音

正弦波の式を作る

★★ 標準正弦波の式

問題

振幅 $0.20 m$ 、波長 $2.0 m$ 、周期 $0.50$ 秒の正弦波が $x$ 軸正の向きに進んでいる。時刻 $t = 0$ に原点 $x = 0$ の変位は 0 で、直後に $+ y$ 向きに動き始めた。(1) この波の変位 $y$ を $x, t$ の式で表せ。 (2) 波の速さを求めよ。

ヒントを見る

読み取りの逆をやるだけ——標準形の A・T・λ に数値を置く。ただし最後に初期条件(t=0 の原点の様子)が sin のままで合っているかを検算すること。

解答・解説

方針

+x 向きの標準形 y=A sin 2π(t/T−x/λ) に A=0.20, T=0.50, λ=2.0 を入れる。初期条件(t=0, x=0 で y=0→上昇)は sin 型そのままで満たされる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 式の読み取り(基礎)の逆再生である。 $+ x$ 向きの標準形に数値を置き、初期条件で検算して仕上げる。

① 標準形に数値を置く。

$y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0}) [m]$

② 初期条件の検算。 $t = 0, x = 0$ で $y = 0.20 sin 0 = 0$ ✓。少し後( $t$ 微小)は位相が正に増えるので $y > 0$ ——上昇で始まる ✓。条件をすべて満たす。

③ 速さ。

$v = \frac{λ}{T} = \frac{2.0}{0.50} = 4.0 m/s$

t=0 の波形。原点は y=0 で、この直後に上昇する

まとめ もし「 $t = 0$ に原点が山」なら $sin$ を $cos$ に、「下降で始まる」なら符号を反転——初期条件は $sin / cos$ と符号の選択で吸収する。標準形を書いてから初期条件で微調整、の 2 段構えが式作りの定石である。

答

(1) $y = 0.20 sin 2 π (\frac{t}{0.50} - \frac{x}{2.0})$ [m] (2) $v = λ / T = 4.0 m/s$

別解

原点の振動から組み立てるルート。 まず原点だけを見ると、単振動 $y (0, t) = 0.20 sin \frac{2 π t}{0.50}$ (0 から上昇で始まる)。位置 $x$ にはこの振動が $\frac{x}{v}$ 秒遅れて届くから、 $t$ を $t - \frac{x}{v}$ に置き換えて

$y = 0.20 sin \frac{2 π}{0.50} (t - \frac{x}{4.0})$

整理すれば①と同じ式になる。この「遅れて届く」という組み立ては、正弦波の式の導出そのもの(応用で扱う)——公式の出どころを体験できるルートである。

ポイント

標準形に数値→初期条件で検算
sin/cos と符号で初期条件を吸収
原点の振動+遅れ x/v でも作れる

よくある間違い

T と λ の位置を逆にする
初期条件を確認せず cos 型の問題でも sin と書く
−x 向きの波でも引き算にする