気柱の共鳴と開口端補正

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 実験問題の鉄則——共鳴位置の差を使う。管口の腹は実際にはわずかに外にはみ出す(開口端補正)ため、$L_1$ 単独から $\lambda$ を出すとずれる。しかし差 $L_2-L_1$ は補正が相殺して純粋に $\frac{\lambda }{2}$ になる。

① 波長。 隣り合う共鳴では水面(節)が 1 個分下がるから

$$\frac{\lambda }{2}=L_2-L_1=0.40⟹\lambda =0.80\mathrm{m}$$

② 振動数。

$$f=\frac{V}{\lambda }=\frac{340}{0.80}=425\mathrm{Hz}$$

③ 開口端補正。 1 回目の共鳴では、腹(管口の少し外)から水面(節)までが $\frac{\lambda }{4}=0.20\mathrm{m}$ のはず。管の長さは $0.19\mathrm{m}$ しかないから、腹は管口の外

$$\Delta x=0.20-0.19=0.01\mathrm{m}(1\mathrm{cm})$$

の位置にある。

まとめ 「差を取れば系統誤差が消える」——開口端補正に限らず、実験データ処理の普遍的な知恵である(単振り子で周期を 10 往復まとめて測るのも同族)。そして差し引きの後に残った $0.01\mathrm{m}$ を「誤差」と捨てずに、開口端補正という物理量として拾い上げる——(3) はその測定になっている。

別解

もし補正を無視したらどうなるかを見るルート。 $L_1=\frac{\lambda }{4}$ と信じると $\lambda =0.76\mathrm{m}$、$f=447\mathrm{Hz}$——正しい 425 Hz から 5 % もずれる。差で計算した $\lambda =0.80$ との食い違いが、「管口の腹は外にある」ことの動かぬ証拠である。

実験で 2 つの計算ルートの答えが合わないとき、それはミスではなく見落としていた物理(ここでは開口端補正)の発見かもしれない——という教訓つきの検算である。