物理 / 波の伝わり方と音

音速と温度

★ 基礎音波音速

問題

空気中の音速は気温 $t$ [℃] のとき $V = 331.5 + 0.6 t$ [m/s] と表される。(1) 気温 15 ℃ での音速を求めよ。 (2) 雷の光が見えてから 3.0 秒後に音が聞こえた。雷までの距離はおよそ何 km か。

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(1) は代入のみ。(2) は、光がほとんど時間をかけずに届くことを使う。3.0 秒はまるまる「音の旅の時間」と考えてよい。

解答・解説

方針

式に代入して 340.5 m/s。距離=速さ×時間≈1.0 km。「3 秒で 1 km」の体感。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 音速は温度で変わる。分子運動が激しいほど、疎密が速く伝わるからである( $V \propto T$ の近似が 1 次式 $331.5 + 0.6 t$ )。

① 15 ℃ の音速。

$V = 331.5 + 0.6 \times 15 = 331.5 + 9.0 = 340.5 \approx 3.4 \times 1 0^{2} m/s$

(よく使う「 $340 m/s$ 」は約 15 ℃ の値である。)

② 雷までの距離。 光は $3.0 \times 1 0^{8} m/s$ なので、雷から届く時間は無視できる。3.0 秒はすべて音の所要時間だから

$d = V t = 340.5 \times 3.0 = 1021.5 \approx 1.0 \times 1 0^{3} m = 約 1.0 km$

まとめ 「ピカッから 3 秒で 1 km」と覚えておくと、雷の距離の目安になる。物理定数の「340 m/s」がどの温度の値なのか( $15$ ℃)を知っておくと、「 $t = 0$ ℃ では 331.5」「夏はもう少し速い」まで一続きに理解できる。音速の温度依存は後の気柱の共鳴(温度が上がると振動数が上がる)にも関係する。

答

(1) $V = 331.5 + 0.6 \times 15 = 340.5 \approx 3.4 \times 1 0^{2} m/s$ (2) $340.5 \times 3.0 \approx 1.0 \times 1 0^{3} m \approx 1.0 km$

別解

なぜ温度で速くなるかを一言で。 音は分子の衝突リレーで伝わる。気体分子運動論より分子の速さは $T$ に比例し(気体の熱力学で学んだ $3 R T / M$ )、リレーの走者が速ければバトンも速く伝わる。実際、音速は分子の平均速さの 7 割ほどの値である。

$V = 331.5 + 0.6 t$ は $V = 331.5 1 + t /273$ を $t$ が小さいとして 1 次近似した式である。この公式のもとには $T$ への比例がある。

ポイント

V=331.5+0.6t(340 は 15 ℃ の値)
光の時間は無視→3 秒で約 1 km
根は分子の速さ ∝√T

よくある間違い

331.5×0.6×15 のように掛け違える
雷の距離で光の時間も引こうとする
K と ℃ の混同(この式は ℃ 用)