音はなぜ夜のほうが遠くまで届くか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 音が遠くまで届くかどうかは、音の強さだけでなく「音線がどちらへ曲がるか」で決まる。

大気は温度が高さで変わるので、音速も変わる。速さが場所で変わる媒質では、光と同じく音の道すじが曲がる。

曲がる向きを決めるのは屈折の法則である。速い層へ進むと水平に近づき、遅い層へ進むと鉛直に近づく——この $1$ 点で昼夜の違いが説明できる。

① 音速。

$$v(20)=331+0.6\times 20=343m/s$$

$$v(10)=331+0.6\times 10=337m/s$$

暖かいほうが速い。

② 昼の音線。 昼は上空が冷たいので、上空ほど音速が小さい。屈折の法則から

$$\frac{\sin \theta }{v}=(\text{一定})⟹\sin \theta \propto v$$

上へ行くほど $v$ が小さいので $\sin \theta$ も小さくなる。$\theta$ は鉛直からの角だから、$\theta$ が小さい = 鉛直に近い。

つまり音線は上へ向かって立ち上がり、空へ逃げていく。地表付近には音が残らないので、遠くでは聞こえにくい。

③ 夜の全反射。 夜は上空のほうが暖かく、音速が大きい。上へ行くほど $\sin \theta$ が大きくなり、音線は水平に寝てくる。

$\sin \theta =1$ に達すると音線は水平になり、そこから先は下向きに折り返す(全反射)。その条件は、地表での角を ${\theta }_0$ として

$$\frac{\sin {\theta }_0}{v_0}=\frac{1}{v_{\text{上}}}⟹\sin {\theta }_0=\frac{v_0}{v_{\text{上}}}=\frac{337}{343}=0.983$$

$${\theta }_0=79.3^{\circ }$$

鉛直から $79.3^{\circ }$、つまり水平から測ると $10.7^{\circ }$ である。これより水平に近い角で出た音は、上空で折り返して地表へもどってくる。

④ 昼と夜の違い。 昼は音線が上へ逃げるので、少し離れると音が届かない「影の領域」ができる。

夜は音線が曲がって戻ってくるので、地表付近に音が閉じこめられる。遠くの列車の音や話し声が夜によく聞こえるのは、このためである。

音が大きくなったのではなく、逃げるはずの音が戻ってきているのである。

まとめ 音線の曲がる向きは、音速が高さとともに増えるか減るかで決まる。温度分布が音の届き方を左右する。

発展 — 一歩先へ。 海の中でも同じことが起きる。海水中の音速は、深さとともに水温が下がる影響で一度小さくなり、さらに深くなると水圧の影響で再び大きくなる。

その結果、音速が最小になる深さ($1000\mathrm{m}$ 前後)が「音のチャンネル」になる。そこから出た音は上下どちらへ逸れても屈折で引き戻されるので、減衰せずに何千 km も伝わる。SOFAR チャンネルとよばれ、クジラの声が大洋を横断できる理由になっている。

$\frac{\sin \theta }{v}=$ 一定 という $1$ 本の式が、夜の静けさから海洋音響までを説明している。

別解

波面の傾きで見るルート。 屈折の法則を使わずに、波面の動きで直感的に理解する方法もある。

音の波面は、音線に垂直な面である。波面の各部分は、その場所の音速で進む。

夜(上空のほうが速い)を考える。斜め上に進む波面では、上のほうが速く進むので、波面はだんだん傾いていく。上端が先に進み、下端が遅れるので、波面は「前のめり」になる。

波面に垂直な向きが音線だから、波面が前のめりになると音線は下を向く。つまり音は地面のほうへ曲げられる。

昼はその逆で、上のほうが遅いので波面は「のけぞる」。音線は上を向き、空へ逃げる。

戦車のキャタピラが、片側だけ遅く回すと曲がるのと同じ仕組みである。「速い側が外側になるように曲がる」と覚えておくと、屈折の向きを間違えない。

同じ理屈で、風があるときも音は曲がる。風下では上空ほど風速が大きく、実質的な音速が大きくなるので、音は下向きに曲がって遠くまで届く。