波の伝わり方と音の解説

波の伝わり方と音は、物理基礎の「波の性質と音」を式で扱えるようにする単元です。正弦波の式、反射・屈折(ホイヘンスの原理)、干渉、そしてドップラー効果を学びます。この単元の中心はドップラー効果で、「音源が動くときと観測者が動くときで、仕組みが違う」ことを理解できるかが分かれ目になります。この記事では、その仕組みの違いと、干渉の条件、正弦波の式の読み書きを説明します。

正弦波の式は「1点の日記」を「空間の写真」に広げたもの

原点の振動が $y=A\sin \frac{2\pi t}{T}$ で、波が速さ $v$ で $x$ 方向に進むなら、位置 $x$ の振動は $\frac{x}{v}$ だけ遅れて始まります。だから $y=A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda }\right)$ です。この式は「$t$ を固定すれば y-xグラフ(空間の写真)、$x$ を固定すれば y-tグラフ(1点の日記)」になります。正弦波の式の読み取り、y-x グラフと y-t グラフ、標準の正弦波の式を作る、応用の正弦波の式の導出で、式とグラフを行き来してください。

縦波を横波のように表示したグラフでは、密の位置が「変位が正から負へ変わる零点」にあり、密の点は進行方向へ最も速く動いています。縦波の横波表示と疎密と標準の総合読解で、この読み方を確認してください。

反射と屈折は「振動数が変わらない」が要

反射は物理基礎と同じで、自由端はそのまま、固定端は上下反転して折り返します(自由端、固定端)。固定端反射でできる定常波は、壁が節になります(標準の固定端反射による定常波)。

屈折では、媒質が変わると速さと波長が変わりますが、振動数は変わりません。「1秒間に届く波の数は境界の両側で同じ」だからです。屈折の法則 $\frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}=\frac{v_1}{v_2}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_2}=n_{12}$ は、ホイヘンスの原理(波面上の各点が新しい波源になる)から導けます。波の屈折と振動数、標準の水面波の屈折、ホイヘンスの原理と屈折の法則で、「共通の斜辺で2つの $\sin$ を書く」導出を追ってください。

干渉は「経路差を波長で割る」

2つの波源から出た波が重なるとき、経路差が波長の整数倍なら強め合い、半整数倍なら弱め合います(同位相の波源の場合)。「経路差 ÷ 波長」を計算して、整数か半整数かを判定するのが手順です。水面波の干渉、標準の干渉の腹線の本数、応用の総合で、強め合う線(腹線)の本数を「$|m|\le \frac{d}{\lambda }$」の不等式で数える方法まで身につけてください。2点間の位相差は $\frac{2\pi \Delta x}{\lambda }$ です(標準の同名の問題)。

ドップラー効果は2つの仕組みを分けて理解する

音源が動くと、前方では波長が縮み、後方では伸びます。「1秒間に出した $f$ 個の波が、$V-v_s$ の長さに詰め込まれる」ので、波長は $\frac{V-v_s}{f}$ です。観測者が動くと、波長は変わりませんが、観測者が波を横切る速さが $V+v_o$ になるので、受け取る回数が変わります。この2つの仕組みを合わせると、$f^{\prime }=\frac{V+v_o}{V-v_s}f$ です。音源が近づく、観測者が近づく、応用の式の導出で、「音源 = 波長が変わる、観測者 = 受け取り率が変わる」を式で確かめてください。

音源が通過する前後で振動数が段差のように変わる(標準の通過の前後)、両方が動く(標準の同名の問題)、動く反射板(標準の動く反射板とうなり)と、設定を増やしていきます。反射板は「受けるときは観測者、返すときは音源」として2幕で扱います。斜め方向のドップラー効果(応用の同名の問題)は、視線方向の速度成分だけが効きます。風があるとき(応用の同名の問題)は、式の $V$ をすべて $V\pm w$ に置き換えます。

弦と気柱

弦を伝わる波の速さは $v=\sqrt{\frac{S}{\rho }}$($S$ は張力、$\rho$ は線密度)で、基本振動数は $\frac{v}{2L}$ です(弦を伝わる波の速さ、標準の弦の共振)。気柱の共鳴と開口端補正は物理基礎の復習で、標準の同名の問題にあります。

学習の順序と次の単元へ

基礎12問で基本式、正弦波の式、グラフ、縦波、反射、屈折、音速、干渉、ドップラー効果の2種、弦を確認し、標準12問で式の作成、縦波の総合、定常波、屈折、腹線の本数、ドップラーの応用、弦と気柱、位相差、ホイヘンスを扱い、応用8問で式の導出、ドップラーの導出と斜め・風・円運動、うなりと気柱、干渉の総合、定常波の式へ進みます。

このサイトの数値は、$340m/s$ 系の分数の連鎖($640\times \frac{17}{16}=680$ など)で、ドップラー効果の答えが割り切れるように設計してあります。最難関編には、衝撃波、はじく位置と倍音、太さの違う弦、音を音で消す限界、夜に音が遠くまで届く理由、津波、ドップラー効果の非対称性、クインケ管など、波動の物理を深く扱う問題を集めました。次の「光」では、この単元の干渉と屈折が、光の干渉(ヤングの実験・薄膜・回折格子)とレンズに拡張されます。