物理 / 波の伝わり方と音

正弦波の式の導出

★★★ 応用正弦波の式導出

問題

原点 $x = 0$ の媒質が $y (0, t) = A sin \frac{2 π t}{T}$ と単振動しており、この振動が速さ $v$ で $x$ 軸正の向きに伝わっていく。(1) 位置 $x$ の媒質の振動は、原点より何秒遅れるか。 (2) 位置 $x$ 、時刻 $t$ の変位 $y (x, t)$ を求め、波長 $λ = v T$ を用いて

$y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$

と書けることを示せ。

ヒントを見る

波が伝わるとは「振動が遅れてコピーされる」こと。位置 x の媒質は、原点が x/v 秒前にやっていた動きを今やっている——この 1 文をそのまま式にする。

解答・解説

方針

「位置 x は原点の振動の x/v 秒遅れのコピー」——t を t−x/v に置き換えるだけ。vT=λ で整理。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 波の式は暗記物ではなく、たった 1 つの考え「位置 $x$ は、原点の振動の $\frac{x}{v}$ 秒遅れの完全コピー」から導ける。

① 遅れの時間。 振動が原点から $x$ まで届くのにかかる時間だから

$\frac{x}{v} 秒$

② 式を作る。 位置 $x$ の「今( $t$ )」の変位は、原点の「 $\frac{x}{v}$ 秒前」の変位に等しい:

$y (x, t) = y (0, t - \frac{x}{v}) = A sin \frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{v})$

括弧を開いて $v T = λ$ を使うと

$y = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{v T}) = A sin 2 π (\frac{t}{T} - \frac{x}{λ})$

位置 x の媒質は、原点の動きを x/v 秒遅れで再現する

まとめ 標準形の $- \frac{x}{λ}$ の負号の正体は「遅れ」である( $- x$ 向きの波なら、遅れるのは負の側だから $+ \frac{x}{λ}$ になる)。「 $t \to t - \frac{x}{v}$ の置き換え」という 1 手を知っていれば、原点の振動がどんな形( $cos$ 型・初期位相つき)でも、波の式は機械的に作れる。

答

(1) $\frac{x}{v}$ 秒 (2) $y (x, t) = y (0, t - \frac{x}{v}) = A sin \frac{2 π}{T} (t - \frac{x}{v})$ 、 $v T = λ$ を代入して標準形になる

別解

2 変数の対称な見方(発展)。 得られた式は $y = A sin [\frac{2 π}{λ} (v t - x)]$ とも書ける——変数が「 $v t - x$ 」のかたまりでしか現れない。 $t$ が増えても $x$ を $v t$ だけ増やせば同じ値——波形全体が形を保ったまま速さ $v$ で平行移動することが、このかたまりの形から一目で分かる。

大学では $f (x - v t)$ の形の関数がすべて波動方程式の解であることを学ぶ——その入り口の景色である。

ポイント

位置 x は原点の x/v 秒遅れのコピー
t→t−x/v の置き換えが全て
−x/λ の負号=遅れ

よくある間違い

t+x/v と早める向きに置き換える
vT=λ の整理でつまずく
−x 向きの波でも同じ符号にする