斜め方向のドップラー効果

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ドップラー効果を生むのは「音源と観測者の距離が縮む速さ」である。斜め方向では、速度ベクトルのうち視線方向の成分だけが距離を縮める——残りの成分は横滑りで、音の高さに関係しない。

① 視線方向の成分。

$$v_s\cos 60°=20\times \frac{1}{2}=10m/s$$

② ドップラーの式に入れる。

$$f^{\prime }=\frac{V}{V-v_s\cos 60°}f=\frac{340}{340-10}\times 660=\frac{340}{330}\times 660=680\mathrm{Hz}$$

まとめ 真正面($0°$、成分 20)なら $\frac{340}{320}\times 660=701.25\mathrm{Hz}$、真横($90°$、成分 0)なら $660\mathrm{Hz}$ のまま——角度が開くほど効果が薄まり、真横でゼロ。救急車が近づくにつれ音程が「少しずつ」下がって聞こえるのは、通過に近づくほど $\cos \theta$ が小さくなるからである(段差に聞こえるのは真横を高速で通る場合)。

別解

距離の変化率で定義から考えるルート(発展)。 ドップラー効果の一般形は「距離 $r$ の縮む速さ $-\frac{dr}{dt}$」で書ける: $f^{\prime }=\frac{V}{V+dr/dt}f$。音源が斜めに走るとき、$\frac{dr}{dt}=-v_s\cos \theta$(幾何から)——これが「成分だけ効く」ことの正確な意味である。

人工衛星の電波の周波数偏移から位置を求める(GPS 以前のトランシット航法)など、「距離変化率の測定」としてのドップラーは現代技術の言語になっている。